2020新课标高考数学（理）二轮总复习（课件+专题限时训练）专题3 立体几何-3

(1)求证：BE∥平面PAD；

(2)若二面角P－CD－A的正切值为2,求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．

解析：(1)证明：∵∠DAC＝∠AOB,∴AD∥OB.

∵E为PC的中点,O为圆心,连接OE,∴OE∥PA,又OB∩OE＝O,PA∩AD＝A,∴平面PAD∥平面EOB,∵BE?平面EOB,∴BE∥平面PAD.

(2)∵四边形ABCD内接于圆O且AC为直径,∴AD⊥CD,又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,又PA∩AD＝A,∴CD⊥平面PAD,∴CD⊥PD,∴∠PDA是二面角P－CD－A的平面角,

∵tan∠PDA＝2,PA＝2,∴AD＝1,如图,以D为坐标原点,DA所在的直线为x轴,DC所在的直线为y轴,过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系D－xyz.PA＝AC＝2,AD＝1,延长BO交CD于点F,∵BO∥AD,∵BF⊥CD,∵BF＝13

BO＋OF,∴BF＝1＋2＝2,又

CD＝

3

3,∴DF＝2,∴

?33?→→

P(1,0,2),B?，，0?,C(0,3,0),CP＝(1,－3,2),DC＝(0,3,0),设平面PCD的法

?22?向量n＝(x,y,z),

→

?n·CP＝0，∵?→n·DC＝0.?

??x－3y＋2z＝0，

即? ??3y＝0.

令z＝1,则x＝－2,y＝0.∴n＝(－2,0,1)是平面PCD的一个法向量, ?3→?1

又PB＝?，，－2?,

?22?

→???PB－1＋0－2?3·n?→??＝, ∴|cos 〈PB,n〉|＝?＝?

→??5×5?5?|PB||n|?3

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为5.