人教版2020高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第1课时 等差数列的前n项和学案5

第1课时 等差数列的前n项和

学习目标：1.了解等差数列前n项和公式的推导过程(难点).2.掌握等差数列前n项和公式及其应用(重点)．

[自 主 预 习·探 新 知]

1．数列的前n项和的概念

一般地，称a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 思考：如何用Sn和Sn－1的表达式表示an? [提示] an＝{Sn－Sn－1n≥22．等差数列的前n项和公式 已知量 求和公式 首项、末项与项数 首项、公差与项数 S1n＝1

na1＋anSn＝ 2nn－1Sn＝na1＋d 2思考：等差数列{an}中，若已知a2＝7，能求出前3项和S3吗？ 3

[提示] S3＝

a1＋a3

2

＝3a2＝21.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)数列的前n项和就是指从数列的第1项a1起，一直到第n项an所有项的和．( ) (2)an＝Sn－Sn－1(n≥2)化简后关于n与an的函数式即为数列{an}的通项公式．( ) (3)在等差数列{an}中，当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝an＋1.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×

提示：(1)正确．由前n项和的定义可知正确． (2)错误．例如数列{an}中，Sn＝n＋2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1. 又因为a1＝S1＝3，

所以a1不满足an＝Sn－Sn－1＝2n－1，故命题错误． (3)错误．当项数m为偶数2n时，则S偶－S奇＝nd.

2．等差数列{an}中，a1＝1，d＝1，则其前n项和Sn＝________.

2

2

2

nn＋1

2

[因为a1＝1，d＝1，

所以Sn＝n＋

nn－1

22n＋n－nn＋nn×1＝＝＝

22

22

n＋1

2

.] 3．在等差数列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10＝________.

- 1 -

【导学号：91432163】

10

24 [由S10＝

a1＋a10

2

＝120.解得a1＋a10＝24.]

1

4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，S4＝20，则S6＝________.

2

4×314×3

48 [设等差数列{an}的公差为d，由已知得4a1＋×d＝20，即4×＋d＝20，

22216×5

解得d＝3，所以S6＝6×＋×3＝3＋45＝48.]

22

[合 作 探 究·攻 重 难]

等差数列前n项和的有关计算

在等差数列{an}中，

53

(1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d；

62(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.

【导学号：91432164】

[解] (1)由题意得，Sn＝

na1＋an2

?53?n?－?

＝

?62?

2

＝－5，解得n＝15.

53

又a15＝＋(15－1)d＝－，

6211

∴d＝－.∴n＝15，d＝－.

668

(2)由已知得S8＝

a1＋a8

2

＝

8

4＋a8

＝172，解得a8＝39， 2

又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. [规律方法] a1，d，n称为等差数列的三个基本量，an和Sn都可以用这三个基本量来表示，五个量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通过通项公式和前n项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用. [跟踪训练] 1．在等差数列{an}中，

(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10； (2)已知a3＋a15＝40，求S17.

- 2 -

5×4??S5＝5a1＋d＝5，2[解] (1)?

??a6＝a1＋5d＝10，解得a1＝－5，d＝3.

∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，

S10＝10a1＋

10×9

d＝10×(－5)＋5×9×3＝85. 2

17×a1＋a1717×a3＋a1517×40

(2)S17＝＝＝＝340.

222

an与Sn的关系的应用

[探究问题]

1．若数列{an}的前n项和为Sn，则关系式an＝Sn－Sn－1的使用条件是什么？ 提示：使用条件是n≥2.

2．若数列{an}的前n项和为Sn，a2 016＋a2 017＋a2 018如何用前n项和Sn表示？ 提示：a2 016＋a2 017＋a2 018＝S2 018－S2 015.

3．已知数列{an}的通项公式an，可利用Sn＝a1＋a2＋…＋an求前n项和Sn；反之，如果知道了数列{an}的前n项和Sn，如何求出它的通项公式？

提示：对所有数列都有Sn＝a1＋a2＋…an－1＋an，Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1(n≥2)．因此，当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1；当n＝1时，有a1＝S1.所以an与Sn的关系为an＝?

??S1，n＝1，

??Sn－Sn－1，n≥2.

*

当a1也适合an时，则通项公式要统一用一个解析式an＝f(n)(n∈N)来表示．

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n－30n. (1)求a1及an.

(2)判断这个数列是否是等差数列.

【导学号：91432165】

思路探究：(1)利用a1＝S1，求a1，借助于an＝Sn－Sn－1(n≥2)求通项公式但要验证a1是否符合条件；(2)利用等差数列的定义进行判断即可．

[解] (1)因为Sn＝2n－30n，所以当n＝1时，

2

2

a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1

＝2n－30n－[2(n－1)－30(n－1)]＝4n－32. 验证当n＝1时上式成立， 所以an＝4n－32.

(2)由an＝4n－32，得an－1＝4(n－1)－32(n≥2)，

- 3 -

2

2

所以an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．

母题探究：1.(变条件变结论)将本例的条件“Sn＝2n－30n”改为“log2(Sn＋1)＝n＋1”，其他条件不变，求an.

[解] 由log2(Sn＋1)＝n＋1得Sn＋1＝2当n≥2时an＝Sn－Sn－1＝2

n＋1

nn＋1

2

，∴Sn＝2

nn＋1

－1

－1－2＋1＝2.

当n＝1时，a1＝S1＝3.经验证不符合上式．

??3，n＝1，∴an＝?n??2，n≥2.

12

2．(变条件变结论)将本例中的条件“Sn＝2n－30n”变为“正数数列{bn}的前n项和Sn＝(bn4＋1)”，求{bn}的通项公式．

[解] 当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1， 1122

∴bn＝(bn＋1)－(bn－1＋1)

44122

＝(bn－bn－1＋2bn－2bn－1)． 4整理得：bn－bn－1－2bn－2bn－1＝0， ∴(bn＋bn－1)(bn－bn－1－2)＝0， ∵bn＋bn－1>0，∴bn－bn－1＝2(n≥2)． ∴{bn}为等差数列．

12

又∵b1＝(b1＋1)，∴b1＝1，

4∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1. [规律方法] 已知数列{an}的前n项和公式Sn，求通项公式an的步骤： （1）当n＝1时，a1＝S1. （2）当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1. （3）如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－12

2

2

；如果a1不满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式要分段表示为??S1，n＝1，an＝??Sn－Sn－1，n≥2.?

等差数列前n项和公式的实际应用

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