学高中数学第二章平面向量 平面几何中的向量方法练习新人教A版必修-课件

2.5 平面向量应用举例 2.5.1 平面几何中的向量方法

1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( ) A.梯形

B.菱形

C.矩形

D.正方形

解析:由题意知,=(3,3),=(2,2),所以.

又因为||≠||,所以四边形ABCD为梯形. 答案:A

2.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD=( ) A.1

B.0

C.3

D.2

解析:建立如图的平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0).

设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).

∵AC⊥BC,∴.

∴=-1+a2=0,∴a=1(负值舍去).

答案:A

3.在△ABC中,∠C=90°,且CA=CB=3,点M满足=2,则=( ) A.18

B.3

C.15

D.12

解析:如图,建立平面直角坐标系,

则A(3,0),B(0,3),设M(x,y), 则=(x,y-3),=(x-3,y),∵=2,

∴∴M(6,-3), ∴=(6,-3)·(3,0)=18.

答案:A

4.(2016·江西吉安一中期中)已知点O为平面上的定点,A,B,C是平面上不共线的三点,若()·(-2)=0,则△ABC是( ) A.以AB为底边的等腰三角形 B.以BC为底边的等腰三角形 C.以AB为斜边的直角三角形

1

D.以BC为斜边的直角三角形

解析:设BC的中点为D,∵()·(-2)=0,∴·(2-2)=0,∴·2=0,∴,故△ABC的BC边上的中线也是高线.

故△ABC是以BC为底边的等腰三角形. 答案:B

5.(2016·山东临沂期中联考)设四边形ABCD为平行四边形,||=3,||=4,若点M,N满足=3=2,则

=( )

A.-1 解析:如图,

B.0

C.1

D.2

=-=-=-=-. ∴×32-×42=0.

答案:B

6.导学号08720074(2016·河南南阳期中)已知△ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为( ) A.-

所以3+4=-5, 所以9+24+16=25.

因为A,B,C在圆上,所以||=||=||=1. 代入原式得=0, 所以=-(3+4)·()

B.

C.-

D.

解析:因为3+4+5=0,

=-(3+4-3-4) =-.

答案:A

7.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是 . 解析:∵=(3,6)=,

∴四边形ABCD为平行四边形.

又∵=(4,-2)·(3,6)=0,

∴四边形ABCD为矩形. ∵||==2, ||==3,

∴S=||||=2×3=30.

答案:30

8.在△ABC中,C=,AC=1,BC=2,则f(λ)=|2λ+(1-λ)|的最小值是 .

2

解析:以C为原点,CA,CB所在直线分别为y轴,x轴建立平面直角坐标系,所以=(0,1),=(2,0),

即2λ+(1-λ)=(0,2λ)+(2-2λ,0)=(2-2λ,2λ),所以f(λ)=2,故f(λ)的最小值为,在λ=时取得. 答案:

9.已知△ABC中,A=60°,AB=1,AC=3,则cos∠ACB= . 解析:设a=,b=,

则cos∠ACB=

=.

答案: 10.

如图所示,在△ABC中,点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若

=m=n,则m+n的值为 .

解析:)=.

∵M,O,N三点共线, ∴=-,∴m+n=2.

答案:2

11.在Rt△ABC中,AB⊥AC,用向量法证明:AB+AC=BC.

2

2

2

证明:如图,由已知可得.

两边平方, 得-2.

∵AB⊥AC, ∴. ∴=0, ∴,

即AB+AC=BC.

12.导学号08720075已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥AD,垂足为E,延长BE交AC于F,连接DF,求证:∠ADB=∠FDC.

2

2

2

3

证明:如图,以B为原点,BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系,

设A(0,2),C(2,0), 则D(1,0),=(2,-2).

设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ), 又=(-1,2), 由题设, 所以=0,

所以-2λ+2(2-2λ)=0,所以λ=. 所以, 所以, 又=(1,0), 所以cos ∠ADB=, cos ∠FDC=,

又∠ADB,∠FDC∈(0,π),所以∠ADB=∠FDC.

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