2018年新疆乌鲁木齐市高考数学一模试卷(文科)

轴于点H，过H作直线l交抛物线于A，B两点，且|BF|=2|AF|． （Ⅰ）求直线AB的斜率； （Ⅱ）若△ABF的面积为

，求抛物线的方程．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】（Ⅰ）过A，B两点作准线的垂线，垂足分别为A1，B1，易知AF=AA1，BF=BB1，求出A，H的坐标，即可求直线AB的斜率； （

Ⅱ

）

若

△

ABF

的

面

积

为

，

可

得

，即可求抛物线的方程．

B两点作准线的垂线，B1，【解答】解：（Ⅰ）过A，垂足分别为A1，易知AF=AA1，BF=BB1，

∵|BF|=2|AF|，∴|BB1|=2|AA1|，∴A为HB的中点，又O是HF的中点， ∴AO是△BHF的中位线，∴∴∴

，

，∴

，而，而

，∴

，

； …

（Ⅱ）∵A为HB的中点，O是HF的中点， ∴∴

，

∴

p=2

，

∴

抛

， 物

线

的

方

程

为

y2=4x． …

21．已知函数f（x）=lnx+ax﹣x2（0＜a≤1） （I）

时，求f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的方程

（II）设函数f（x）单调递增区间为（s，t）（s＜t），求t﹣s的最大值．

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（I）利用导数的几何意义求出切线的斜率f′（1），再计算f（1），代入点斜式方程化简即可；

（II）令f′（x）＞0可得2x2﹣ax﹣1＜0，根据二次函数的性质及根与系数的关

系可得s=0，t=【解答】解：（Ⅰ）∵又

，

，再利用函数单调性和a的范围得出t﹣s的最大值．

，∴

，

∴y=f（x）的图象在（1，f（1））处的切线方程为y+=﹣（x﹣1），即（Ⅱ）

，

．

令f′（x）＞0得2x2﹣ax﹣1＜0，

∵△=a2+8＞0，∴2x2﹣ax﹣1=0有两根x1，x2（x1＜x2）， 又

，

，

∴（s，t）=（0，x2），则

而在（0，1]上单调递增，

∴a=1时，取得最大值1，

∴a=1时t﹣s取得最大值1．

22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+O点）

（I）求证：|OB|+|OC|=（II）当φ=

|OA|；

（t为参数，

与曲线M交于A，B，C三点（异于

时，直线l经过B，C两点，求m与α的值．

【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）利用极坐标方程，即可证明：|OB|+|OC|=（II）当φ=

|OA|；

时，直线l经过B，C两点，求出B，C的坐标，即可求m与α

的值． 【

解

答

】

（

Ⅰ

）

证

明

：

由已知：

∴

（Ⅱ）解：当代入曲线

M

时，点B，C的极角分别为的方程得点

…

，

的极径分别为：

B，C

∴点B，C的直角坐标为：则直线l的斜率为由∴

23．设f（x）=|2x|+|x+a|

（I）当a=﹣1时，求不等式f（x）≤4的解集； （II）当f（x）=|x﹣a|时，求x的取值范围．

…

，方程为

，

，与x轴交与点（2，0）；

，知α为其倾斜角，直线过点（m，0），

【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．

【分析】（I）当a=﹣1时，，即可求不等式f（x）≤4的解

集；

（II）当f（x）=|x﹣a|时，可得2x（x+a）≤0，分类讨论，求x的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ），

当x≤0时，由f（x）≤4得﹣1≤x≤0； 当0＜x≤1时，由f（x）≤4得0＜x≤1； 当x＞1时，由f（x）≤4得

；

综上所述，当a=﹣1时，不等式f（x）≤4的解集为； …

（Ⅱ）∵f（x）=|2x|+|x+a|≥|2x﹣（x+a）|=|x﹣a|，∴2x（x+a）≤0， 当a=0时，x=0； 当a＞0时，﹣a≤x≤0； 当a＜0时，0≤x≤﹣a．…