工程数学线性代数教案

（7）定理：A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的．

七．特征值与特征向量的求法

重点（难点）：

1．将一组基规范正交化的方法：先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将其单位化． 2．A为正交矩阵的充要条件；

3．求矩阵特征值与特征向量的步骤。

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P137：1、3、4、5、7、11。

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线性代数 课程教案

授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型 *§3．相似矩阵

*§4．对称矩阵的对角化

本授课单元教学目标或要求：

一、掌握相似矩阵与相似变换的概念 二、掌握相似矩阵与相似变换的性质

三、掌握利用相似变换将方阵对角化的方法 四、掌握对称矩阵的性质

五、掌握利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、相似矩阵与相似变换的概念 二、相似矩阵与相似变换的性质

三、利用相似变换将方阵对角化的方法 四、对称矩阵的性质

五、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法

重点（难点）： １．相似矩阵

相似是矩阵之间的一种关系，它具有很多良好的性质，除了课堂内介绍的以外，还有： （1）A与B相似，则det(A)?det(B)

（2）若A与B相似，且A可逆，则B也可逆，且B相似； （3）若A与B相似，则kA与kB相似，k为常数。

（4）若A与B相似，而f(x)是一多项式，则f(A)与f(B)相似

相似变换是对方阵进行的一种运算，它把A变成PAP，而可逆矩阵P称为进行这一变换的相似变换矩阵．这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算． 2. 对称矩阵的性质： (1)特征值为实数；

(2)属于不同特征值的特征向量正交；

(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；

(4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值． 3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：

(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P139：13、14、15、16、18。

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?1?1 线性代数 课程教案

授课题目（教学章节或主题）：第五章 相似矩阵及二次型

§5． 二次型及其标准形 第五章习题课

本授课单元教学目标或要求： 一、掌握二次型及其标准形的概念 二、掌握二次型的表示方法 三、掌握二次型的矩阵及秩 四、掌握化二次型为标准形 五、习题课

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形

重点（难点）：

1． 实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．

2． 实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．

本授课单元教学手段与方法：讲授、练习

本授课单元思考题、讨论题、作业：P140：25、26、27。

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