刘明亮 - 临平一中2014年“假日杯”初中数学竞赛模拟试卷

17．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 菁优网版权所有专题： 证明题． 分析： 先作辅助线，以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．可证得△EAB≌△DAC，再证得△BEA≌△BED，即可得结论． 解答： 解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE． ∵∠BAE=90°﹣60°﹣15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴∠BED=360°﹣∠BEA﹣60°=150°，即∠BEA=∠BED； 又∵AE=ED，BE=BE， ∴△BEA≌△BED（SAS）， ∴BA=BD． 13