刘明亮 - 临平一中2014年“假日杯”初中数学竞赛模拟试卷

∴甲，乙一共行驶了：9×1（x+y）米， 根据它们的速度之和为：x+y， ∴此时它们行驶了：9×1（x+y）÷（x+y）=12分钟． 故答案为：12．

二、填空题

9．已知实数a、b、c满足

，则a（b+c）= ﹣ ．

考点： 非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；代数式求值． 专题： 计算题． 菁优网版权所有分析： 根据非负数的性质列出方程求出a、b、c的值，代入所求代数式计算即可． 解答： 2解：原式=|a﹣b|++（c﹣）=0， ∴|a﹣b|=0，=0，（c﹣）=0， 2∴c=，b=﹣，a=﹣， ∴a（b+c）=﹣故答案为：﹣． ． 10．若x是自然数，x+13和x﹣76都是完全平方数，那么x= 2012 ． 考点： 完全平方数． 2222分析： 由题意可设a=x+13，b=x﹣76，则a﹣b=（a+b）（a﹣b）=（x+13）﹣（x﹣76）=89，可得a+b=89，a﹣b=1，求解再代入即可． 22解答： 解：设a=x+13，b=x﹣76， 22则a﹣b=（a+b）（a﹣b）=（x+13）﹣（x﹣76）=89， ∴解得：2， ， ∴x=a﹣13=2015﹣13=2012． 故答案为：2012． 11．若关于x的分式方程

有整数解，m的值是 4或3或0 ．

考点： 解分式方程． 分析： 首先化分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后讨论整数解即可求解． 解答： 解：， ∴mx﹣1﹣1=2（x﹣2），

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∴x=﹣， 而分式方程有整数解， ∴m﹣2=1，m﹣2=﹣1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2， 但是m﹣2=﹣1时，x=2，是分式方程的增根，不合题意，舍去 ∴m﹣2=1，m﹣2=2，m﹣2=﹣2， ∴m=4，m=3，m=0． 故答案为：m=4，m=3，m=0． 12．自然数n的各位数字中，奇数数字的和记为S（n），偶数数字的和记为E（n），例如S（134）=1+3=4，E（134）=4，则S（1）+S（2）+…+S（100）= 501 ，E（1）+E（2）+…+E（100）= 400 ． 考点： 有理数无理数的概念与运算． 专题： 规律型． 分析： 分别求出1﹣100个数中，1，2，3，4，5，6，7，8，9，出现的次数，结合题意可进行计算． 菁优网版权所有解答： 解：1﹣100中，含有1的数字有：1，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，21，31，41，51，61，71，81，91，100，共出现21次； 1﹣100中，含有2的数字有：2，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，12，32，42，52，62，72，82，92，共出现20次； 同理：3、4、5、6、7、8、9，均出现20次； 故S（1）+S（2）+…+S（100）=1×21+（3+5+7+9）×20=501； E（1）+E（2）+…+E（100）=（2+4+6+8）×20=400． 故答案为：501，400． 13．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为点B，C，∠BAD和∠ADC的平分线恰好交在BC边上的E点，AD=8，BE=6，则四边形ABCD的面积为 48 ．

考点： 角平分线的性质． 专题： 计算题． 菁优网版权所有分析： 由于AB⊥BC，EF⊥AD，AE是∠BAD的角平分线，可得BE=EF，利用直角三角形全等的判定可得△ABE≌△AFE，于是∠BAE=∠EAF，同理可得△FDE≌△CDE，且∠FDE=∠CDE，由AB⊥BC，CD⊥BC，易得AB∥CD，从而有∠BAD+∠CDA=180°，进而可求∠EAF+∠EDF=90°，易求△AED的面积，从而可求S四边形ABCD． 解答： 解：如右图所示，过E作EF⊥AD，交AD于F， ∵AB⊥BC，EF⊥AD，AE是∠BAD的角平分线， ∴BE=EF， 又∵AE=AE， ∴△ABE≌△AFE，

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∴∠BAE=∠EAF， 同理可得△FDE≌△CDE，且∠FDE=∠CDE， ∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴AB∥CD， ∴∠BAD+∠CDA=180°， ∴∠EAF+∠EDF=90°， ∴S四边形ABCD=2S△AED=2××AD×EF=48． 故答案为：48． 14．（5分）如图，点P为正△ABC内一点，∠APB=125°，∠BPC=100°，则以AP，BP，CP为边长的三角形各内角的度数为 75°，65°，40° ．

考点： 等边三角形的性质；旋转的性质． 分析： △APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，可以证明△APQ是等边三角形则QP=AP，则△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形，据此即可求解． 菁优网版权所有解答： 解：将△APC绕点A顺时针旋转60°得△AQB，则△AQB≌△APC， ∴BQ=CP，AQ=AP， ∵∠1+∠3=60°， ∴△APQ是等边三角形， ∴QP=AP， ∴△QBP就是以AP，BP，CP三边为边的三角形． ∵∠APC=360°﹣∠APB﹣∠BPC=135°， ∴∠6=∠APB﹣∠5=65°， ∵∠AQB=∠APC=135°， ∴∠7=∠AQB﹣∠4=75°， ∴∠QBP=180°﹣∠6﹣∠7=40°， ∴以AP，BP，CP为边的三角形的三内角的度数分别为75°，65°，40°． 故答案为：75°，65°，40°． 11

三、解答题 15．（12分）如图所示，∠C=90°，Rt△ABC中，∠A=30°，Rt△A′B′C中，∠A′=45°．点A’、B分别在线段AC、B′C上．将△A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转一个锐角q时，边A′B′分别交AB、AC于P、Q，且△APQ为等腰三角形．求锐角q的度数．

考点： 旋转的性质；等腰三角形的性质． 菁优网版权所有专题： 探究型． 分析： 由于△APQ为等腰三角形，∠A为底角或顶角不能确定，故应分∠A为底角和顶角两种情况进行讨论． 解答： 解：①当∠A为等腰△AOQ的底角时，此时PQ=AQ， ∵∠A=30°， ∴∠AQP=∠A′QC=120°， ∵∠A′=45°， ∴∠A′CQ=180°﹣∠A′QC﹣∠A′=180°﹣120°﹣45°=15°， 由旋转的性质可知∠q=∠A′CQ=15°； ②当∠A为等腰△AOQ的顶角时，此时AP=AQ， ∵∠A=30°， ∴∠APQ=∠B′PQ===75°， ∵∠B′=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°， ∴∠B′EP=∠BEC=180°﹣∠B′﹣∠B′PQ=180°﹣45°﹣75°=60°， ∵∠B=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°， ∴∠q=180°﹣∠B﹣∠BEC=180°﹣60°﹣60°=60°． 故答案为：15°，60°． 12

17．（12分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，求证：BD=BA．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质． 菁优网版权所有专题： 证明题． 分析： 先作辅助线，以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE．可证得△EAB≌△DAC，再证得△BEA≌△BED，即可得结论． 解答： 解：如图：以AD为边，在△ADB中作等边三角形ADE，连接BE． ∵∠BAE=90°﹣60°﹣15°=15°，即∠BAE=∠CAD，且AB=AC，AE=AD， ∴△EAB≌△DAC（SAS）， ∴∠BEA=∠CDA=180°﹣15°﹣15°=150°， ∴∠BED=360°﹣∠BEA﹣60°=150°，即∠BEA=∠BED； 又∵AE=ED，BE=BE， ∴△BEA≌△BED（SAS）， ∴BA=BD． 13