2019届湖南省郴州市高三第三次质量检测数学(理)试题解析

由1+2k2=2m2得S?6, 故四边形OMDN的面积是定值,其定值为6. 点评：

本小题主要考查用定义法求轨迹方程，考查椭圆中四边形面积的计算，考查椭圆中的定值问题，考查运算求解能力，属于中档题. 21．已知函数f(x)?e?x?a?ln(x?a)(a?0).

（1）证明：函数f(x)在(0,??)上存在唯一的零点； （2）若函数f(x)在区间(0,??)上的最小值为1，求a的值. 答案：（1）证明见解析；（2）

1 2?（1）求解出导函数，分析导函数的单调性，再结合零点的存在性定理说明f(x)在

(0,??)上存在唯一的零点即可；

（2）根据导函数零点x0，判断出f?x?的单调性，从而f?x?min可确定，利用

f?x?min?1以及y?解：

1?lnx的单调性，可确定出x0,a之间的关系，从而a的值可求. x1. x?a（1）证明：∵f(x)?ex?a?ln(x?a)(a?0)，∴f?(x)?ex?a?∵ex?a在区间(0,??)上单调递增，

?1在区间(0,??)上单调递减， x?a∴函数f(x)在(0,??)上单调递增.

1a?eaaa又f?(0)?e??，令g(a)?a?e(a?0)，g?(a)?1?e?0， aaae?a则g(a)在(0,??)上单调递减，g(a)?g(0)??1，故f?(0)?0. 令m?a?1，则f?(m)?f?(a?1)?e??1?0 2a?1所以函数f(x)在(0,??)上存在唯一的零点.

x0?a?（2）解：由（1）可知存在唯一的x0?(0,??)，使得f??x0??e1?0，即x0?aex0?a?1（）. x0?a

x?a?函数f?(x)?e1在(0,??)上单调递增. x?a∴当x??0,x0?时，f?(x)?0，f(x)单调递减；当x??x0,???时，f?(x)?0，f(x)单调递增.

∴f(x)min?f?x0??ex0?a?ln?x0?a?.

1?ln?x0?a?. x0?a由（）式得f(x)min?f?x0??1?ln?x0?a??1，显然x0?a?1是方程的解. ∴

x0?a又∵y?11?ln?x0?a??1有且仅有唯一的解?lnx是单调递减函数，方程x?ax0x0?a?1，

把x0?1?a代入（）式，得e1?2a?1，∴a?点评：

本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到判断函数在给定区间上的零点个数以及根据函数的最值求解参数，难度较难.（1）判断函数的零点个数时，可结合函数的单调性以及零点的存在性定理进行判断；（2）函数的“隐零点”问题，可通过“设而不求”的思想进行分析.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?11，即所求实数a的值为. 22?x?tcos?（t为参数，

?y??2?tsin?，点M(0,?2).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲0????）

?????42cos??C线2的极坐标方程为??.

4??（1）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其形状； （2）曲线C1与曲线C2交于A，B两点，若

1117，求sin?的值. ??|MA||MB|415 4(x?2)?(y?2)?8，答案：（1）以(2,?2)为圆心，（2）sin??22为半径的圆；

22（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到C2的直角坐标方程并判断形状； （2）联立直线参数方程与C2的直角坐标方程，根据直线参数方程中t的几何意义结合

1117求解出sin?的值. ??|MA||MB|4解：

解：（1）由??42cos????????，得??4cos??4sin?，所以4??2?4?cos??4?sin?，

即x?y?4x?4y，(x?2)?(y?2)?8. 所以曲线C2是以(2,?2)为圆心，22为半径的圆.

2222?x?tcos?22（2）将?代入(x?2)?(y?2)?8，

?y??2?tsin?整理得t2?4tcos??4?0.

设点A，B所对应的参数分别为t1，t2， 则t1?t2?4cos?，t1t2??4.

t?t11|MA|?|MB|t1?t2????12?|MA||MB||MA||MB|t1t24， 解得cos点评：

2?t1?t2?42?4t1t216cos2??1617??44??115，则sin??1?cos2??. 164本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：?cos??x,?sin??y；（2）若要使用直线参数方程中t的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解. 23．已知f(x)=|ax+2|.

（1）当a?2时，求不等式f(x)>3x的解集； （2）若f(1)?M，f(2)?M，证明：M…. 答案：(1) (??,2) (2)见证明

（1） 利用零点分段法讨论去掉绝对值求解；

23

（2） 利用绝对值不等式的性质进行证明. 解：

（1）解：当a?2时，不等式f?x??x可化为2x?2?3x.

当x??1时，?2x?2?3x，x??2，所以x??1； 5当x??1时，2x?2?3x，?1?x?2. 所以不等式f?x??3x的解集是???,2?.

（2）证明：由f?1??M，f?2??M，得M?a?2，M?2a?2，

3M?2M?M?2a?2?2a?2，

又2a?2?2a?2?4?2?2， 所以3M?2，即M?点评：

本题主要考查含有绝对值不等式问题的求解，含有绝对值不等式的解法一般是使用零点分段讨论法.

2. 3