应用泛函分析

中国地质大学 研究生课程论文封面

课程名称应用泛函分析 教师姓名 研究生姓名 研究生学号 研究生专业 所在院系 类别: 硕士

日期: 2013年12月12日

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应用泛函分析课程报告

——泛函分析及其在地球物理中的应用

1 前言

1.1概述

泛函分析是现代数学的一个分支，隶属于分析学，其主要研究对象是无穷维空间和这类空间之间各种映射的一般性质。它是从分析数学、变分法、积分方程、微分方程、逼近论和理论物理等的研究中发展起来的，成为近代分析的基础之一。它以集合论为基础，综合运用分析、代数和几何的观点方法，来研究分析学的课题。可看作无限维分析学。

泛函分析是20世纪30年代形成的。它的产生和发展主要受两各因素的影响。一方面，由于数学本身的发展，需要探求其各分支里被孤立讨论过的结论和方法的一般性和统一性。分析、代数、变分法、积分方程、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方，它启发人们从类似的东西中探寻一般的真正属于本质的东西，加以总结和整理，建立一套理论，用统一的观点理解和处理已有的或将要出现的对象，促使了泛函分析抽象理论的形成与提升。另一方面，正如Newton力学对微积分的发展所起的作用一样，量子物理学的需要对泛函分析的发展起到重要作用。

泛函分析具有高度抽象性和概括性，并具有广泛的应用性以及表述形式的简洁性，使得它的概念和方法已渗透到数学、理论物理和现代工程技术的许多分支。半个多世纪以来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取资自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子普理论、Banach代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力的推动着其它不少学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要应用；它也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一，其方法大量的使用于连续介质力学、电磁场理论、量子场论等学科；此外，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科当中，其概念、术语和符号作为科学的语言已被频频应用于许多技术问题的表述之中，成为一种方便的数学语言和工具。因此，泛函分析成为数学类高级本科生和研究生必修的一门专业理论课，同时也成为工科研究生的一门数学基础课程。[1]

1.2泛函分析在中国的发展

中国数学有悠久灿烂的历史，有史以来的两千多年间，特别是公元十三世纪前，当时占统治地位的数学各分支的许多重要领域内，一直是独立发展，遥遥领先于世界，对世界数学发展有着特殊的贡献和重大的影响。至十七世纪，西方数学开始输入中国，是中国数学开始走上现代化的道路。但由于中国近代历史的特殊原因，长期的动荡与战乱，使得中国数学到近代逐渐落伍。在二十世纪二十至三十年代，中国数学虽然有一定的发展，但还是没有跟上世界主流。由哥廷根派、波兰学派、苏联学派发展起来的处于世界数学主流和前沿的抽象代数、泛函分析和拓扑学，除了少数几位数学家之外，中国几乎无人涉及。

至四十年代，有许多工作已经进入世界数学主流。涌现了一批出色的数学大师，如华罗庚、陈省身等。到四十年代末，已经初步形成了微分几何、拓扑学、数论函数论的中国学派。由于与世界数学脱节太久，在解放后虽然经过了一定的发展，但还

是有不少差距。[2]

虽然中国数学与世界存在差距，但中国数学家对泛函分析做出了重大贡献。中国数学家曾远荣（1903-1994）在20世纪30年代泛函分析正在形成独立分支时，就引入并研究了任意维的实、复或四元数体上的线性空间的有解线性泛函数的表现，无界自伴算子的固有值等问题，所得到的一些结果早于F.黎斯等当代最著名的数学家的结果。五十年代，曾远荣在内积空间方面，引入矛盾方程逼真解与线性算子广义迹概念，并在双直交系方面获得较强的具体结果。冯康（1920-1993）提出广义函数的新处理形式，研究了广义梅林交换，对其中最常见的基本空间K,E,S的自反性给了初等证明。江泽坚（1921-2005）等在拓扑线性空间研究中，结合古典的共鸣定理引入（BS）空间概念。丁夏畦（1928-）系统的研究了可微函数空间，得到各种类型的嵌入定理，补正了哈代-利特伍德的一个经典不等式证明。丁夏畦还应用自己所建立的函数空间理论，解决了强非线性变分原理中拉登任斯卡娅提出过的一个问题。程文塬（1931-）等研究了Banach空间及其线性算子理论，于1958年完全解决了H在L2(G)中考虑是否由L2到Lp中的有界线性算子问题。

夏道行（1930-）字60年代以来，在非正常算子理论方面取得了一系列的成果，对美国数学家的研究也产生了影响。他提出了“半亚正常算子”的概念，建立了它的奇异积分模型，又给出了用广义记号算子（一种正常算子）的谱来决定亚正常算子谱的定理和用广义记号算子决定半亚正常算子谱的定理。他还得到了关于半亚正常算子谱与特普利兹算子谱的关系。他和李绍宽得到了关于半亚正常算子的谱快照、谱投影和谱分割的定理。Pincus及夏道行建立了关于亚正常算子、半亚正常算子的主函数、精刻函数和迹公式理论。夏道行还得到了关于可微分变换群拟不变测速的拉东尼可丁导数的一般形式，并作出了另一类基本的表示。将这些表示用于点过程，局部流代数，解决了盖尔方德、夏普所提出的有关问题。

江泽坚等研究巴拿赫约化问题，取得一系列结果。王声望对广义谱算子和涅梅茨基算法的研究，吴从炘（1935-）关于核空间的研究，郭大钧（1934-）关于非线性积分的研究，林群关于算子方程近似解的研究，田方增（1915-）、阳明珠（1933-）把算子谱理论应用于中子方程的研究，张恭庆（1936-）关于分歧点理论在非线性偏微分方程中的应用，对乌雷桑算子的研究和非线性算子拓扑度的研究以及对偏微分算子的研究等等，都取得了相当好的结果。严绍宗对不定尺度空间上的酉算子和自共轭算子建立了准确模型，并用它来解决了谱分析中的一系列问题，给出了压缩算子的一种结构及一切酉扩张等。同时，他还得到“极·积算子”的一系列结果，使得沉寂多年的这方面理论有了进展。

在教学方面，六七十年代中国确立了自己的教育体系，中国学者自己编著的教科书大量出现，泛函分析从测度论、积分论中脱离出来，逐渐成为独立的教材。之后，随着高等数学在高校的普及，泛函分析作为高校的一门基础课开设，对于泛函分析理论的传播与发展起到重要作用。二十世纪末，泛函分析理论发展成熟，各种泛函分析理论的教科书呈现出来。

2 应用泛函分析研究内容

泛函分析是高度抽象的数学分支，研究各类泛函空间及算子理论。所谓泛函空间是带有某类数学结构（主要是拓扑和代数结构）的抽象集。其元（或点）可以是数、向量、函数、张量场，甚至各种物理状态等。根据不同拓扑状态和结构，泛函空间划分为各个类别。常见的有，a.度量空间，对任意两抽象元引入距离，由此自然的引入开机等拓扑结构。

从而，度量空间是一个特殊的拓扑空间，但尚未赋予代数结构。b.线性拓扑空间（拓扑向量空间，同时带有拓扑和代数结构。所谓拓扑无非是在抽象集中规定某些子集为开集），他们满足开集的基本公理。有了拓扑后，即能引入极限、连续、紧致和收敛等初等分析的重要概念。这里所述的代数结构指的是线性结构（加法和数乘运算）。由此可讨论线性无关、基和维数等代数概念。泛函分析的空间绝大部分是无限维的。线性空间（带有线性结构的度量空间）是线性拓扑空间的一例。但最重要的线性拓扑空间应是线性赋范空间。c.线性赋范空间。每个元（向量）||x||是普通向量的推广。线性空间配上范数后，能自然地诱导出度量和拓扑。就这个意义而言，它是特殊的线性拓扑空间和度量空间。于是具有这两个空间中所有概念。例如可以讨论该空间（或其子集）是否完备。即任何柯西序列是否为收敛序列。d.Banach空间。它是完备的线性赋范空间。完备性使该空间具有非常良好的性质。例如闭图像定理、共鸣定理、逆算子定理等。e.内积空间。内积的引入使得该空间更直观形象，内容格外丰富。内积把普通几何术语几乎全带入抽象空间中。例如，长度、两向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、点（向量）和子空间的距离等。使抽象泛函空间涂上了浓厚的几何色彩。由于内积可诱导范数，内积空间是特殊的线性赋范空间，但反之不然。与普通欧式空间最相像的应是Hilbert空间。f.Hilbert空间。它是完备的内积空间，内容丰富。例如Fourier展开、Bessel不等式和Parseval等式等。

泛函分析另一内容是算子理论，可以讲更为重要。它研究上述各类泛函空间上线性与非线性算子的各种特性。对于单个算子，可以引入连续、有界、下有界、闭、紧致和全体连续等性质。对于算子集（线性连续算子集或线性连续泛函集等）又可引入新的线性结构和范数等，构成高层的算子空间。其中对偶（共轭）空间尤为重要。据此，可以引入自共轭算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空间、强和弱收敛等。在初等分析中卓见成效的微分运算也可推广于泛函或算子。例如Gatean微分，Frechet微分和次微分等。为了剖析算子的结构和特性，谱分析是重要的手段，全连续和正常算子的谱分析已成熟。

泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包含了几何对象，也包括了