奥数课堂1

解 1份农药，399份水，溶液为400份，1份农药中含纯药20％。

答：加水后的浓度为0.05％。

例7 把2千克浓度为52％的酒与3千克浓度为38％的酒混合，求混合后的浓度。

解 混合后，溶液量为（2+3=）5（千克），溶质（纯酒精）量为：2×52％+3×38％=2.18（千克），

答：混合后的浓度为43.6％。

例8 要把浓度为5％的盐水40千克，配制成浓度为8％的盐水，需要加盐多少千克？ 解 设需要加盐x千克，则x+40×5％和（40+x）×8％都是加盐后溶液中的含盐量，所以有 x+40×5％=（40+x）×8％ x+40×5％=40×8％+x·8％ x=40×8％-40×5％+x·8％ x-x·8％=40（8％-5％） （1-8％）x=40（8％-5％） x=40（8％-5％）÷（1-8％）x≈1.3 答：需要加盐约1.3千克。

巧妙的奇偶分析我们知道，全体自然数按能否被2整除可以分为奇数，偶数两大类。被2除余1为奇

数，被2整除为偶数。它们还有一些特殊的性质，例如，奇数≠偶数，奇数和奇数之和是偶数等。灵活、巧妙、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶性质解题的方法就称为奇偶分析。巧妙运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。

有一个俱乐部的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话，一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围成一圈，每个老实人旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”记者立刻判断出张三是骗子，他是怎么知道的呢？ 原来，根据俱乐部的全体成员围成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可见俱乐部中的老实人与骗子人数相等，也就是说俱乐部全体成员总和是偶数。因此张三说45人一定是骗人的。这实质上是利用了对应的思想。

街头有一位魔术师，它在桌子上放了77枚正面朝下的硬币，第一次翻动77枚，第二次翻动其中的76枚，第三次翻动其中的75枚??第77次翻动其中1枚。翻动了若干次之后，大家发现硬币居然全部正面朝上，他是怎样做到的呢？

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原来对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。按规定的翻动，其翻动1+2+??+77=39×77次，平均每枚硬币翻动了39次，这是奇数。根据77×39=77+（76+1）+（75+2）+??+（39+38）可以设计如下翻动方法：

第1次翻动77枚，可以将每枚硬币翻动一次；第2次与第77次翻动77枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理第3次与第76次，第4次与第75次??第39次与第40次都可将每枚硬币各翻动一次，这样每枚都翻动了39次，都由正面朝下变为正面朝上。

针对数的奇偶性，还有很多富有智慧性的问题。例如，有足够多的三种水果：苹果、梨、桔子，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨、桔子），才能保证得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的水果的个数都是偶数。我们可以借助列表来解决。

可见，三种水果的奇偶情况共有8种可能，所以必须最少分成9堆，才能保证有两堆的三种水果奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果个数都是偶数。

解题后的反思数学技能的形成与能力培养离不开解题。有效地培养数学解题的能力，除了做好审题，

制订解题方案，解答表达等工作外，解题后的反思也是一个不可缺少的重要环节。美籍匈牙利数学家乔治·波利亚就说过：“数学问题的解决仅仅只是一半，更重要的是解题之后的回顾”。

解题本身不是学习的目的，而只是一种训练手段。进行解题后的小结或反思，会有益于我们总结经验，发现规律，形成技能技巧，从而把解题真正变成一种强有力的训练手段。现就解题后的反思，思什么？谈几点建议，供参考。

一、思疏漏 解题后要思考是否有疏漏和错误的地方，总结应该注意的方面：如答案是否与题中隐含条件相抵触，是否有其他可能情况，是否掉入了命题者所设置的陷阱。以此提高分析能力，纠正解答中错误。

例 从一个长方形截去一个角，还剩（ ）个角？ 错解 3个角。

反思 学生缺乏全面的思考，受直觉思维认知干扰，从而得出错误解法。正确的可通过列表如下：

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根据图表可以看出，一个长方形截去一个角，可产生三种情况。

例 如图1是平等四边形，一条边上的高是5厘米。它的面积是多少？错解 6×5=30（平方厘米） 反思 这一解法是错误的。关键在于未能正确地确定5厘米是平行四边形哪条边上的高。

事实上，由“直线外一点到这条直线所画的线段中，以和这条直线垂直的线段最短”，可知5厘米不可能是边长为6厘米的底边上的高而只能是边长为4厘米的底边上的高，如图2。这样，正确的解答就应当是

4×5=20（平方厘米）

小结：上述例子告诉我们，要做到解题完满，关键是审题要充分，分析要全面，思考要周密，运用知识要熟练、准确、合理、灵活。

二、思方法 解题后小结一下解题方法，归纳这种解题方法的特点，有利于学生较快地掌握这种方法，培养学生举一反三的能力，提高知识的正迁移水平。

只脚。于是可求出鸡的只数是：

小结：本例是运用假设思维方法解题。当有些应用题直接推理或逆转推理都不能寻找出解题途径时，就可以将题目中两个或两个以上的求知量，假设成相等的数量，或者将一个求知条件假设成已知条件，从而使

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题目中隐蔽或复杂的数量关系趋于明朗化和简单化，然后按照假设后的条件，依据数量的相依关系，列式计算并做相应的调整，最后算出结果来。这就是运用假设法的特点。

三、思多解 解题后对于同一问题，若从不同角度去思考、观察、联想，可得不同解题途径，其中必有最佳方法。养成这种习惯，可提高学生的发散思维能力，使解题方法灵活多变。

例：在括号里填上适当的数，使等式成立。

分析（1）利用倒数关系，使乘积都等于1。

（2）利用“0”的特征，使乘积都等于0。

（3）利用递等式的特点，在第一个括号里填6，则

（4）利用假设法，设乘积为2，则

小结：从以上解法看，解本题的关键是先确定乘积是几，然后求出各因数分别填上。掌握了这一规律，不仅可以迅速地填数，而且可得无数个解，而抓乘积为“0”和“1”的特征的解法最佳。这样，使学生认识到，掌握多种解法，就会因题而异找到满意的解法。

四、思问题 解题后，对数学问题由此及彼地联想，其中，有时要对问题追根溯源，多问几个“为什么”？有时是从一个问题联想到与它形式不同但实质完全一样的多种叙述或表达方式，这样，就能培养我们抓住问题实质的本领，培养思维的连动性、流畅性和变通性。

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