奥数课堂1

已知自行车的速度是步行的3倍，则在相同的时间里，自行车行的路程是步行的3倍。如果将步行10分钟的路程看作1倍的量，那么自行车10分钟行的路程为3倍的量。在线段图中标出这些倍数，观察线段图可知汽车10分钟行的路程为7倍的量。因此，汽车10分钟行的路程是步行路程的7倍，则汽车的速度是步行速度的7倍。

例3 一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25％，可以比原定时间提前24分到达，如果以原速行驶80千米后，现将速度提高1/3，可以提前10分到达乙地。那么甲乙两地相距（ ）千米。

分析 题中给的数量较多，而且数量间的关系不明显。我们根据“速度×时间=路程”这个关系式列表分析推导如下：

速度 × 时间 = 路程

原来 1 1 1 变化一 1+25％ ① 1

根据表中变化一可求出①，即现在所用时间为原时间的1÷（1+25％）

而变化二实际只提前10分，相差（30-10=）20（分），这是“将速度

千米所用

时间为：

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原速度为：80÷80=1（千米）

甲乙两地相距为：1×120=120（千米）

“最大与最小”问题在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一

种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。 例1 试求乘积为36，和为最小的两个自然数。

分析与解 不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。

例2 试求乘积是80，和为最小的三个自然数。

分析与解 不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。

结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。 例3 试求和为8，积为最大的两个自然数。

分析与解 不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。 例4 试求和为13，积为最大的两个自然数。

分析与解 不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个

结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。 例5 砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？

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分析与解 根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面积是：14×14=196（平方米）

例6 要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？

分析与解 要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。这时所需毛竹是：30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克） 例7 用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。

分析与解 用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？ 因为：97+86=183，96+87=183，它们的和相等。又有：97-86=11，96-87=9

显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。

所以，7应放在8后面，6应放在9后面。

同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。它们的积是9642×8753=84396426 例8 试比较下列两数的大小：

a=8753689×7963845 b=8753688×7963846

分析与解 此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。

等分法在解题中的妙用等分法”就是将一个物体或数量等分几份的一种解题方法。运用这种方法解答

有关多边形的面积问题，常会使人有“柳暗花明”的感受。

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一、运用平行四边形定义等分。

例1 求图1正六边形的面积。（单位：厘米）

分析与解 将正六边形按图2所示等分成3个平行四边形。所以，正六边

形的面积为：37.5×（65÷2）×3=3656.25（平方厘米）

例2 如图3，四边都相等的两个完全相同的四边形，在两边的中点处部分重合。已知重合部分的面积是8平方厘米。求阴影部分的面积。

分析与解 将图3按图4所示等分成7个棱形。所以，阴影部分

的面积为：8×6=48（平方厘米）

二、运用梯形定义等分

例3 如图5所示，求出中队旗的面积。（单位：厘米）

分析与解 将图5按图6所示等分成2个梯形。所以，中队

旗的面积为： （60+80）×30÷2×2=4200（平方厘米）

例4 将正方形的四条边分别向两端各延长一倍，连接8个端点得到一个八边形（图7），求阴影部分的面积。

分析与解 将八边形按图8所示等分成4个梯形。所以，阴影部分

的面积为：（2+2×2）×2÷2×4=24（平方厘米）

三、运用三角形面积法等分。

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