三年高考(2020)高考数学试题分项版解析 专题24 立体几何中综合问题 文(含解析)

（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)

；(Ⅲ)．

【解析】分析：（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面ABC，则AD⊥BC．（Ⅱ）取棱AC的中点N，连接

MN，ND．由几何关系可知∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．计算可得

异面直线BC与MD所成角的余弦值为平面ABD所成的角．计算可得

．则

．（Ⅲ）连接CM．由题意可知CM⊥平面ABD．则∠CDM为直线CD与

．即直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

（Ⅲ）连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=

．又因为平面ABC⊥平面

ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．

在Rt△CAD中，CD=角的正弦值为．

点睛：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．

=4．在Rt△CMD中，

．所以，直线CD与平面ABD所成

5．【2020年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．

（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； （2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 【答案】（1）

（2）

【解析】分析：（1）先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量的夹角，再

的一

根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；（2）利用平面的方向量的求法列方程组解得平面个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.

，从而

，

．

（1）因为P为A1B1的中点，所以故

．因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为

点睛：本题考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.

6．【2020年江苏卷】在平行六面体

中，

．

求证：（1）（2）

【答案】答案见解析

【解析】分析：（1）先根据平行六面体得线线平行，再根据线面平行判定定理得结论；（2）先根据条件得菱形ABB1A1，再根据菱形对角线相互垂直，以及已知垂直条件，利用线面垂直判定定理得线面垂直，最后根据面面垂直判定定理得结论.

详解：证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C， 所以AB∥平面A1B1C．

（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．

又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，

； ．

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．

点睛：本题可能会出现对常见几何体的结构不熟悉导致几何体中的位置关系无法得到运用或者运用错误，如柱体的概念中包含“两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形”，再如菱形对角线互相垂直的条件，这些条件在解题中都是已知条件，缺少对这些条件的应用可导致无法证明. 7．【2020年新课标I卷文】如图，在平行四边形折起，使点到达点的位置，且（1）证明：平面（2）为线段

平面

；

上一点，且

，求三棱锥

的体积．

．

中，

，

，以

为折痕将△

上一点，为线段

【答案】(1)见解析.(2)1.

【解析】分析：(1)首先根据题的条件，可以得到

=90，即

，再结合已知条件BA⊥AD，利用线

面垂直的判定定理证得AB⊥平面ACD，又因为AB平面ABC，根据面面垂直的判定定理，证得平面ACD⊥平面ABC；(2)根据已知条件，求得相关的线段的长度，根据第一问的相关垂直的条件，求得三棱锥的高，之后借助于三棱锥的体积公式求得三棱锥的体积. 详解：（1）由已知可得，

=90°，

．又BA⊥AD，且

，所以AB⊥平面ACD．

又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．