九年级数学第一轮复习试题

考点：平面展开-最短路径问题；勾股定理的应用．

分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 解答：根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：

（1）沿AA?，A?C?，C?B?，B?B剪开，得图（1）AB?2?AB2?BB?2?(2?1)2?42?25 (2)沿AC,CC?,C?B?,B?D?,D?A?,A?A剪开，得图（2）

AB?2?AC2?B?C2?22?(4?1)2?4?25?29

（3）沿AD,DD?,B?D?,C?B?,C?A?,AA?剪开，得图（3）

AB?2?AD2?B?D2?12?(4?2)2?1?36?37

综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB?2?25，即AB??5cm,

故答案为：（1）所示5cm．

点评：长方体中的最短路径问题要比圆柱体中的最短路径问题复杂，因为其展开图有三种情况，要比较后方能确定，但基本原理是一样的，需要将立体图形展开为平面图形才能解答，这里我们利用了“两点之间线段最短”这个最朴素的原理，只要掌握了最基本的原理，无论题目多复杂，我们都能转化同一类问题，从而解决问题．

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答要写出必要的文字说明、证明算步骤．） 19．（本小题满分9分）

为了了解我市中学生创新能力大赛中竞赛项目笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：

分数段 频数 频率 60≤x＜70 30 0.1 70≤x＜80 90 n 80≤x＜90 m 0.4 90≤x≤100 60 0.2

请根据以上图表中提供的信息，解答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ；

（2）在表中：m= ，n= ； （3）补全频数分布直方图；

（4）参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩落在

分数段内； （5）如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 ． 考点：频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数 分析：（1）利用第一组的频数除以频率即可得到样本容量； （2）90÷300即为70≤x＜80组频率---n的值；300×0.4即为80≤x＜90组频数，m的值． （3）根据80≤x＜90组频数即可补全直方图；

（4）根据中位数定义，找到位于中间位置的两个数所在的组即可．

（5）将比赛成绩80分以上的两组数的频率相加即可得到计该竞赛项目的优秀率． 解答：（1）此次调查的样本容量为30÷0.1=300； （2）n=

90300=0.3；m=0.4×300=120； （3）如图：

（4）中位数为第150个数据和第151个数据的平均数，而第150个数据和第151个数据位于80≤x＜90这一组，故中位数位于80≤x＜90这一组； （5）将80≤x＜90和90≤x≤100这两组的频率相加即可得到优秀率，优秀率为60%．

点评：本题考查了频数分布直方图、用样本估计总体、频率分布表、中位数等知识，要具有读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 20．（本小题满分10分）

如图所示，在⊙O中，点A是弧CD的中点，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与

AB交于点F，连接BC． （1）求证：AC2=AB?AF；

（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．

考点：扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质． 分析：（1）由点A是弧CD的中点，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证； （2）连接OA，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由∠B为60°，求出∠AOC为120°，过O作OE垂直于AC，垂足为点E，由OA=OC，利用三线合一得到OE为角平分线，可得出∠AOE为60°，在Rt△AOE中，由OA及cos60°的值，利用锐角三角函数定义求出OE的长，在Rt△AOE中，利用勾股定理求出AE的长，进而求出AC的长，由扇形AOC的面积-△AOC的面积表示出阴影部分的面积，利用扇形的面积公式及三角形的面积公式即可求出阴影部分的面积． 解答：（1）证明：∵点A是弧CD的中点，∴∠ACD=∠ABC， 又∠BAC=∠CAF，∴△ACF∽△ABC，∴

考点：坡角与坡度关系，解直角三角形的应用．

分析：大坝需要的土方＝橫断面面积3坝长；所以问题就转化为求梯形ADNM的面积，在此问题中，主要抓住坡度不变，即MA与AB的坡度均为1∶

3． 3M A E N D F 解答： ⑴∵i＝tanB,即tanB＝1∶

3，∴∠B=60°． 3B ⑵过点M、N分别作ME⊥AD，NF⊥AD，垂足分别为E、F． ME

由题意可知：ME＝NF＝5，∴ ＝，∴AE＝DF＝，

AE

∵AD＝4， ∴MN＝EF＝ AD—AE—DF ＝AD—2AE＝4—=4—， 11

∴S梯形ADNM＝ ( MN + AD) ME＝ (4—35＝20—．

22

C ACAF=，即AC2=AB?AF； ABAC∴需要土方为(20—390＝1800—750 1800—75031.732＝1800—1299 ＝501(立方米) ．

垂直高度

点评：本题的关键在于抓住前后坡比不变来解决问题，坡度＝ ＝坡角的正切值、解直角

水平距离三角形与矩形的性质．注意能借助坡角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 22．（本小题满分1 2分）

将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD． （1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如果两张纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值？如果存在，请求出来；如果不存在，请简要说明理由．

_ C_ D考点：矩形的性质、菱形的判定、三角形的全等、勾股定理及函数

_ A_ B

分析：第（1）题寻求AD、AB的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第（2）题，动手实验操作寻求两矩形纸片的特殊位置关系．①DCF互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD周长的最大值、最小值．

AEB解答：（1）如图（8-6），∵AD∥BC，∴AB∥DC∴四边形ABCD为平行四边形．

分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足为点F、E，则DE＝BF． 8-6∵∠DAE＝∠BAF，∴Rt△DAE≌Rt△BAF，∴AD＝AB．∴四边形ABCD是菱形．

*网（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，

如图所示：∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°， 又OA=OC，∴∠AOE=∠COE=

1×120°=60°， 212在Rt△AOE中，OA=2cm，∴OE=OAcos60°=2×=1cm， ∴AE=OA?OE=3cm，∴AC=2AE=23cm，

22120??2214?则S阴影=S扇形OAC-S△AOC=-×23×1=（-3）cm2．

23360点评：此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之

间的关系，等腰三角形的性质，以及辅助线． 21．（本小题满分10分）

如图，某防洪大坝为了加固长90米，高5米，坝顶宽为4米的迎水坡和背水坡，它们是坡度均为1∶

3，橫断面是梯形的防洪大坝，现要使大坝顺势加高1米，求⑴坡角的度数；⑵完成该大坝的加3固工作需要多少立方米的土？（精确到整数，参考数据： 3≈1.732）

DACB8-7G（2）存在最大值和最小值．

①当∠DAB＝90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8； ②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB＝x，如图（8-7）， 在Rt△BCG中，x2?(8?x)2?22，x?174． 此时，菱形ABCD周长＝4AB＝43＝17

∴周长最大值为17．

点评：本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力． 23、（本小题满分12分）

某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.

(1)设用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围.

(2)设此次运输公司的利润为M(单位:百元),求M与x的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案. 大蒜规格 甲 乙 丙 每辆汽车的满载量/t 8 10 11 运输每吨大蒜获利/百元 2.2 2.1 2 考点：不等式组的应用；一次函数的应用．

分析：题(1)中要全面把握三个条件：共用10辆汽车；大蒜共100t；每种大蒜不少于一车.

由题意可以列出方程和不等式.

题(2)中运输公司的利润M是甲、乙、丙三种大蒜的利润总和. 解答：(1)∵用x辆车装运甲种大蒜,用y辆车装运乙种大蒜，

∴装运丙种大蒜的车辆为(10―x―y)辆.

根据题意，得 8x?10y?11(10―x―y)＝100，化简，得 y＝－3x＋10.

∵每种大蒜不少于一车，∴ ?3x?10≥1，

x≥1. 解之得 1≤x≤3. (2) 根据题意，得 M＝2.2?8x＋2.1?10y＋2?11(10―x―y)

＝17.6x＋21(－3x?10)?22(10－x+3x－10) ＝－1.4x?210.

∵k=－1.4?0,∴M随x的增大而减小.又∵1≤x≤3,

∴当x＝1时M有最大值.∴M最大＝－1.4+210＝208.6（百元）

此时相应的车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.

点评：不等式的运用常常与方程（组）、函数的知识相结合，当不等式作为隐含条件使用的时候，更能反映学生全面思考问题的能力.网版权所有 24．（本小题满分13分）

如图，把抛物线y=12x2

平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（-6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=12x2

交于点Q，

(1)求抛物线m的解析式； (2)求图中阴影部分的面积为； (3) 在抛物线y=

12x2

的图像上是否存在一个点与点P关于原点O成中心对称？若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由. 考点：二次函数综合题．

分析：（1）根据抛物线的平移性质，求出解析式；

（2）根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积； （3）先根据中心对称确定点P的对称点坐标，再将坐标代入抛物线解析式y=12x2

验证即可． 解答：如图，过点P作PM⊥y轴于点M，

（1）∵抛物线y=

12x2

平移后得到抛物线m， ∴设抛物线m的解析式为：y=12x2

+bx+c，

∵经过原点O（0，0）和点A（-4，-4） ∴ C=0 8-4b+c=-4 解得： b=3 c=0 ∴抛物线m的解析式为：y=12

2x+3x

（2）∵y=12（x+3）2

?92，∴点P的坐标是（-3，?92），

根据抛物线的对称性可知，阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴S=|-3|3|?92|=272． (3) 存在

有中心对称的性质，可知点P关于原点O成中心对称的点的坐标是（3，92），

把x=3代入抛物线解析式y=

12x2

得 y=12332

= 92

∴该点的坐标是（3，

92） 点评：此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键．

九年级数学第一轮复习试题参考答案及评分标准

一、选择题（本题共12小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选

项选出来，每小题选对得3分，共36分，选错、不选或选出的答案超过一个均记O分．） 1．B 2．B 3． C 4． B 5． B 6．A 7. C 8． B 9．A 10. C 11．C 12． D 二、填空题（本大题共6小题，共18分，只要求填写最后结果，每小题填对得3分） 13．(a-b)(a+b+1)w.14．47 15． 23° 16． 0.6 17．100（+1）米 18. 5cm

（漏掉单位扣1分）

三、解答题（本大题共6小题，共66分，解答要写出必要的文字说明、证明算步骤．） 19．（本小题满分9分）

（1）300；-----------------------------------------------------------------------------1分 （2）n=0.3；m=120；---------------------------------------------------------------2分 （3）如图：---------------------------------------------------------------------------2分

（4）80≤x＜90；------------------------------------------------------------------2分 （5）60%．-------------------------------------------------------------------------2分 20．

（本小题满分10分）

（1）证明：∵点A是弧CD的中点

∴∠ACD=∠ABC 又∠BAC=∠CAF ∴△ACF∽△ABC ∴

ACAB=AFAC，即AC2=AB?AF-----------------------------5分 （2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E 如图所示：∵∠ABC=60°

∴∠AOC=120° 又OA=OC

∴∠AOE=∠COE=

12×120°=60° 在Rt△AOE中，OA=2cm