全概率公式的推广及应用

全概率公式的推广及应用

摘 要 全概率公式是概率论中的重要公式，在实际生活中有广泛的应用，但

适用条件比较严格.本文给出五种全概率公式的推广形式，弱化了全概率公式事件列是互不相容的条件，拓展了使用范围，最后给出了相关的应用.

关键词 概率空间;事件;全概率公式

Generalization and Applications of Full probability formula

Xiaoye Cheng School of mathematics and computer science

Abstract Full probability formula is one of the most important formula in

probability theory. It has been used widely in real life. However, the conditions of this formula is very strict. In this paper, we give five kinds of generalized formula, which weaken the incompatible conditions in full probability formula. In the last section, we give some examples to show the applications of these generalized full probability formula.

Keywords probability space;events; full probability formula 1、引言

我们学习了事件和概率，知道一个复杂事件的发生往往由多种条件导致，这时它的概率往往不易直接求得，在这种情况下复杂事件的概率就需要使用全概率公式，但全概率公式的使用条件比较有限，所以扩大全概率公式的使用范围，推广全概率公式是本文研究的内容.全概率公式是概率论中最基本的公式之一，提供了计算复杂函数概率的一条有效途径，往往能使一个复杂函数的概率计算问题简化，但全概率公式的适用条件限制了它的使用范围，因此将全概率公式的条件弱化，扩大它的使用范围就成为我们研究的目标.本文给出了五种全概率公式的推广形式，进一步拓展了全概率公式的使用范围，成为我们解决更复杂问题的有效工.

2、全概率公式的推广及应用

对自然现象的一次观察叫做实验，随机实验的每一个可能的结果，称为基本

事件.因为随机实验的所有结果是明确的，从而所有的基本事件也是明确的，它们的全体，称作样本空间，通常用字母?表示.

若事件A与B 不能同时发生，也就是说AB是一个不可能事件，即AB=?,则称事件A与B互不相容.

??（全概率公式）设B1,B2,…是一列互不相容的事件，且有?Bi=?,P(Bi)>0,

i?1i=1,2…，则对任一事件A，有

?? p(A)=?i?1p(Bi)p(A|Bi).

全概率公式说明目标事件A发生的概率是在划分Bi（i=1,2,…）基础上两两互拆事件组ABi(i?1,2,?）的概率之和，可视为：Bi为A的诱发事件，P(ABi)为

P(ABi)P(A)诱发成功的可能.若A已发生，则来自Bi诱发成功的可能是件概率P(Bi,这是一个条

|A),使用乘法公式和全概率公式之后就得到推广一：

n推广一：设B1,B2,…，Bn互不相容，且?i?1Bi=?，m个事件A1,A2,Am中的Aj（j=1,2,…m）只能与事件B1,B2,…，Bn之一同时发生，即

nAj=?i?1AjBi（j=1,2,…m）.

n 则有

(i)P(Aj)??i?1P(Bi)P(Aj|Bi)（j=1,2,…m）

(ii)P(Aj|Bi)?P(Aj)P(Bi|Aj)P(Bi) （i=1,2,…n ;j=1,2,…m）

证明：因为m个事件A1,A2,Am中的Aj j=1,2,…m）只能与事件B1,B2,…，Bn

n之一同时发生，即Aj=?i?1AjBi（j=1,2,…m）

2

nn 则P(Aj)??i?1P(AjBi)=?P(Bi)P(Aj|Bi)i?1（j=1,2,…m）

由贝叶斯公式知P(Aj|Bi)?P(Aj)P(Bi|Aj)P(Bi)

注：(1)全概率公式及其两个推广要求事件列Bi两两互不相容，往往限制了全概率公式的应用范围，以下两种推广后的全概率公式的形式则减弱了事件列的条件.贝叶斯公式给出了全概率公式的反向利用，在实际问题中有很好的应用.

(2)推广一中的公式可以用矩阵的方式表现，在求多个事件的概率时更易操作.

n(i)因为P(Aj)=?i?1P(Bi)P(Aj|Bi)（j=1,2,…m）即

P(A1)?P(B1)P(A1|B1)?P(B2)P(A1|B2)???P(Bn)P(A1|Bn) P(A2)?P(B1)P(A2|B1)?P(B2)P(A2|B2)???P(Bn)P(A2|Bn)

…………………………………………

P(Am)?P(B1)P(Am|B1)?P(B2)P(Am|B2)???P(Bn)P(Am|Bn)

按矩阵的乘法有

?P(A1)??P(A1|B1)???P(A2)?P(A2|B1)??????P(Am)???P(Am|B1)P(A1|B2)P(A2|B2)P(Am|B2)P(A1|Bn)??P(B1)????P(A2|Bn)P(B2)???P(Am|Bn)????P(Bn)??

(ii)

?P(A1|B1)?P(A1|B2)???P(A1|Bn)P(A2|B1)P(A2|B2)P(A2|Bn)P(Am|B1)??P(Am|B2)??P(Am|Bn)???1?P(B1)??0???0????0 ?P(Am)??001P(B2)0????0??1?P(Bn)??0

?P(B1|A1)?P(B2|A1)???P(Bn|A1)P(B1|A2)P(B2|A2)P(Bn|A2)P(B1|Am)??P(A1)??P(B2|Am)0??P(Bn|Am)????00P(A2)0例1、某厂有号码1，2，3的箱子个数分别为n1,n2,n3,其中1号箱子装有一等

品a1件,二等品b1件,三等品c1件；2号箱子装有一等品a2件，二等品b2件，三等品c2件，3号箱子装有一等品a3件，二等品b3件，三等品c3件，现任

3

选一个箱子，并从中任取一件，问取出的是一等品、二等品、三等品的概率各是多少？

3解：设Dj:“取出的一件是j号箱的”，（j=1,2,3）,且?j?1Dj=?,

A:取出的一件是一等品 B:取出的一件是二等品

C:取出的一件是三等品 由条件知P(Dj)?njn1?n2?n3(j=1,2,3),

a2a2?b2?c2a3a3?b3?c3 P(A|D1)

?a1a1?b1?c1P(A|D2)?P(A|D3)?

P(B|D1)?b1a1?b1?c1P(B|D2)?b2a2?b2?c2P(B|D3)?b3a3?b3?c3

P(C|D1)?c1a1?b1?c1P(C|D2)?c2a2?b2?c2P(C|D3)?c3a3?b3?c3

则P(A)?P(D1)P(A|D1)?P(D2)P(A|D2)?P(D3)P(A|D3)=

a3n3a1n1(a1?b1?c1)(n1?n2?n3)?a2n2(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)?(a3?b3?c3)(n1?n2?n3) P(B)?P(D1)P(B|D1)?P(D2)P(B|D2)?P(D3)P(B|D3)=

b3n3b1n1(a1?b1?c1)(n1?n2?n3)?b2n2(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)?(a3?b3?c3)(n1?n2?n3) P(C)?P(D1)P(C|D1)?P(D2)P(C|D2)?P(D3)P(C|D3)=

c1n1(a1?b1?c1)(n1?n2?n3)?c2n2(a2?b2?c2)(n1?n2?n3)?c3n3(a3?b3?c3)(n1?n2?n3)

例2、炮弹爆炸时产生大、中、小三种弹片，这三种弹片击中坦克的概率依次分别为0.1、0.3、0.6，若这三种弹片击中坦克，则其击穿坦克的概率依次分别为0.9、0.2、0.05，已知坦克被弹片击穿，求坦克被大、中、小弹片击穿的各情况的概率. 解：设B：“坦克被弹片击穿“ A1:“大弹片击中坦克”，则P(A1)

4

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