2013固体物理复习题及答案

6． 在金属的自由电子模型中，假定传导电子可近似的看作是自由电子气，其中最重要的参数是电子密度n及两次碰撞之间的时间?，试导出金属电导率的

ne2?表达式：??，估计铜中电子的弛豫时间?，铜的电导率1.7?10-6??cm，

m铜的原子密度为8.5?1023cm?3。

解：对于自由电子，动量p和波矢k的关系为：p??k

dpdk ??dtdt在外力F作用下的运动方程为：F?即由于外力作用，所有电子的k值在平行于力F的方向上由所增加。但是，电子又通过碰撞回复到他们原来的状态而平衡态，如果碰撞的弛豫时间为?，则波矢k的平衡位移?k为：?k???F

相应地，速度变化为：?v??Pm????k?F mm若外加电场为?，则作用在每个电子上的力为：F??e?

ne2????? 由此引起的电流密度为：j??ne?v?mne2?由此得电导率?为：??

m对于铜，若认为每个原子贡献一个导电电子，因此，n?8.5?1022cm?3

m?m?14??2.5?10（s）. 22nene?由此得铜电子弛豫时间：??

7.考虑每格点具有一个质量为m的原子的二维平方晶格，仅计及最近；邻原子之间的相互作用，力度常数为?，设声子色散关系曲线是：

?q?4??qa?sin()? ?m?2?求：在长波极限下，求声子态密度D（?），即单位频率间隔d?中的点阵振动的模式数，

解：(1)在长波极限下，q?0，有

??4??qa??sin()??m?2??maq，（1）

式中??q，是弹性色散关系，设二维晶格的面积为S，则声子态密度D（?）为：

D（?）?S(2?)22?qdq，即D（?）?Sdq， q2?d?由式（1）q???m即

?ad??dq?m?a

?故模式密度 D（?）SdqSq?2?d?2???m??a1?m??aSm? 22?a?8. 铜是单价金属，其密度为8000kg/m3，原子量为64. 试计算绝对温度时电子的费米能；

解：铜是面心立方晶体，设晶格常数为a,一个晶胞中有4个铜原子，故铜密度

4?64N03??a，N0是阿伏伽德罗常数，则晶格常数a

?4?64?10a???N0???3??10??3.76?10m=3.76 ? ??13设铜晶体体积为V，包含有N个铜原子，每一个铜原子贡献一个电子，则共有NV43个传导电子，设费米球半径为kF,有2???k?N， F3（2?）3N??即kF??3?2??(3?2n)3

V??N?4?N,对于面心立方晶体n????

V?a3?V13123131电子浓度n?N?(12?)?故kF??3?2??

V?a?绝对零度下的费米能级

?2kFEF??1.042?10?18J?6.5eV

2m29.若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量， （1）费米能和费米温度 （2）费米球半径

（3）在室温及低温时电子的平均自由程

银的密度=10.5g/cm3,原子量=107.87，电导率=1.61?10?6??cm（在295K），和电阻率=0.038?10?6??cm（在20K）.

10.5?6.022?1023?5.86?1023/cm3 107.87解：银的电子浓度=

（1）费米能EF和费米温度TF

?2EF?(3?2n)?8.747?10?19J?5.46eV

2mEF5.464??6.34?10K kB8.617?10?5TF?（2）费米球半径kF

1313?3??3?kF?2???n??2???5.86?1022??1.2?108(cm?1)

?8???8???k1.05?10?34?1.2?1088??1.38?10(cm/s) （3）费米速度vF??35m9.1?10ne2?1m（4）金属自由电子论 ???，则???2

?m?ne1在295K，???1m??3.77?10?4(s) ?621.61?10ne??uF??1.38?108?3.77?10?14?5.2?10?6(cm)= 520? 同理20K下

??1.596?10?12(s)

???uF??1.38?108?1.596?10?12?2.2?10?4(cm)=2.2?104? 10.六角空间晶格。六角空间晶格的初基平移矢量可以取为：

?1?a1??32a/2??x?a2????1?32a/2??x?a2y a2?????????y a?3?cz

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