2013固体物理复习题及答案

2?(a2?k)2???2?(ai?aj)?(i?j) ?a2a2?(k?a1)2??b2??2?(ai?aj)?(i?j)

?a2a虽然这将是构成二维正方倒格子点阵，下图示出倒格子点阵和第一布里渊区，在布里渊区边界上将发生布拉格反射。

b1?b2 i b1 (4)在点阵周期势场中运动的电子波函数是布洛赫波即：

?k(r)?eik?ruk(r) 式中函数uk(r)具有晶格平移对称性

uk(r)?uk(r?R)

式中R是晶格格矢，这是受晶格周期势场调制的平面波，此即布洛赫定理，布洛赫波的指数部分是平面波，描述了晶体中电子的共有化运动，而周期函数则描述了晶体中电子围绕原子核的运动，因而布洛赫波正是反映晶体中电子运动的特点。

4. 一束动能为1keV的电子通过一多晶金属箔产生衍射，这种金属具有立方晶体结构，原子间距为1 ?，求

（1）计算电子的波长；

（2）计算第一级衍射极大的布拉格角

p2h解（1）因为电子的波长??及?eV（V为电子加速电压），所以

2mph(2meV)12???12.25V12?12.251000?0.39（?）

（2）由布拉格反射条件2dsin??n?，对第一级衍射极大，n?1, 又知d?1 ?，所以 sin??

5. 分别到处一维，二维和三维金属中自由电子的能态密度。

解：

金属自由电子E?k关系为

?2k2 E(k)?

2m?2d?0.39?0.195，得 ??11.18? 2?1一维E?k是抛物线，二维等能线是圆，而三维等能面则是球。 （1） 一维情况。

E?E?dE电子数目相应于一维k轴在?k方向(2dk)范围内的状态如下图，计

入电子自旋，一维金属长度为L，

E dE dk dk k

g(E)dE?2?L?2dk 2?1?m由自由电子色散关系，dk??(2mE)2dE

?代入得

??2L2mL2m2?22?(2mE)?(2)E?E2 g(E)?2????1111

（2） 二维情况。

E?E?dE电子数目相应于如图1.1.55二维k平面上半径k，宽度为dk的圆环内的状态数目，设二维金属面积为S

k dk

g(E)dE?2?S(2?)2?2?k?dk

由自由电子色散关系

?2?2 dE? ?2kdk??2?kdk2m2?m代入得 g(E)?2S2m?Sm???常数 (2?)2?2??2（3） 三维情况

E?E?dE电子数目相应于如图1.1.56三维k平面上半径k，宽度为dk的球壳内的状态数目，考虑电子自旋，对体积为V三维金属

g(E)dE?2?V?4?k2?dk 3(2?)

kz dkk ky kx

由色散关系，

?mdk??(2mE)2dE

?1与色散关系一起代入上式

?V2mEm2m222g(E)dE?2??4???(2mE)?4?V?()E?E2 322?(2?)??1311