§4-2 关于连续函数积分的结论

154 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

根据它和原函数的一般表示，就得到下面的微积分基本定理.

定理4-6 若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则函数F(x)是f(x)在区间[a,b]上的原函数，充分必要条件为

F(x)?c?x?f(t)dt(a?x?b) (4-3)

a其中c为待定常数.

要具体确定出是哪一个原函数，还必须附加条件，例如已知原函数在某一点的函数值.事实上，若令x?a，则由式(4-3)，得c?F(a)，所以

xF(x)?F(a)??f(t)dt （4-4）

a例3 设一物体自高空落下，下落速度为v(t).若不计空气阻力，则得

?(t)?g (其中g为重力加速度) v根据式(4-4)，

v(t)?v(0)??t?(t)dt?v(0)?v0?tgdt?v(0)?gt

0其中v(0)表示初速度.假若是自由落体运动，则初速度v(0)?0，所以v(t)?gt.又因为

?(t)?v(t)?gt [s(t)为物体下落距离] s再根据式(4-4)，所以

s(t)?s(0)??tv(t)dt?s(0)?0?tgtdt?s(0)?012gt

2其中s(0)为自由落体的初始位置.

作为定理4-6的推论，我们又重新得到计算积分的简便方法，即牛顿—莱布尼茨公式.注意，它与第4-1节中说的牛顿—莱布尼茨公式的假设条件是不同的. ．．．．．．．．

推论 若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，而F(x)是它在[a,b]上的任一个原函数，则有

b?证 根据式(4-4)，

f(x)dx?F(x)aba?F(b)?F(a)

F(x)?F(a)??bxf(t)dt (a?x?b)

a特别（取x?b），则有

?bf(x)dx?a?f(t)dt?F(b)?F(a)

a（积分与积分变量无关）

在微积分的许多著作中，都把定理4-6称为微积分基本定理.这是因为：

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§4-2 关于连续函数积分的结论 155

第一，它指出连续函数必有原函数.

第二，求原函数的问题，本来是微分运算的逆运算问题.表面上看起来，它似乎与柯西-黎曼积分的概念并不相干，可是这个定理却沟通了两者之间的关系.在式（4-3）中，对F(x)求导数时得到f(x)；而对f(x)再求积分时，只要适当选择那个要加上的待定常数，就又重新回到原来的函数F(x).

第三，由它又重新证明了牛顿—莱布尼茨公式.同时它也说明，闭区间上连续函数的柯西-黎曼积分与牛顿—莱布尼茨积分是一致的.

我们再来考虑用变上限的积分定义的函数

u(x)?uf(t)dt?F?u(x)?

a[其中f(t)是连续函数且上限函数u(x)可微分]

它是函数F(u)?dx?d?f(t)dt与函数u?u(x)的复合函数.根据链式规则和定理4-5，则

au(x)f(t)dt?addxF?u(x)??F?(u)?u?(x)?f(u)?u?(x)?f?u(x)?u?(x)

定理4-7 若函数f(u)在区间[A,B]上连续，而函数u(x)和v(x)在某区间a,b上有导数，且满足A?u(x)?B和A?v(x)?B，则有

dx?du(x)f(t)dt?f?u(x)?u?(x)?f?v(x)?v?(x)(莱布尼茨公式)

v(x)证 对于任意c(A?c?B)，

u(x)cu(x)u(x)v(x)?因此，

ddxu(x)f(t)dt?v(x)?cf(t)dt?v(x)?df(t)dt?c?f(t)dt?c?f(t)dt

c?f(t)dt?v(x)ddxu(x)v(x)?f(t)dt?dx?f(t)dt?f?u(x)?u?(x)?f?v(x)?v?(x)

c例4 求函数F(x)??2cosxesinx1?t2dt的导数F?(x).

解 根据莱布尼茨公式，

F?(x)?e1?cosx(cosx)??e1?sinx2(sinx)???e|sinx|sinx?e|cosx|cosx

习题

1.求下列函数在指出区间上的平均值：

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156 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

⑴f(x)?x2,[0,2]； ⑵g(x)?答案：⑴

43x,[0,100]； ⑶h(t)?sint,[0,?].

；⑵

203；⑶

2?.

2.证明下面的不等式： ⑴

?2?2???2?e0sinxdx??e2； ⑵

?21?3??11?sin2x?dx??18.

?43.比较下面三个积分的大小： A??(1?sinx)21?sin2x??2dx,B??2??2sin2xx2?cos2xdx,C??2??210(1?sin2x)4x2??2dx.

答案：B?A???C.

4.设函数f(x)和g(x)在区间[a,b]上连续.证明

1?b2f(x)g(x)dx??f(x)dx?aa2?其中等式成立当且仅当f(x)?g(x)(a?x?b).

bba????2g(x)dx?

?5.设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上都是不恒等于零的连续函数.若没有常数?，使

f(x)??g(x)或g(x)??f(x)(a?x?b)，证明

bbb?f(x)g(x)dx?a?f(x)dxa2?g2(x)dxa(柯西严格积分不等式)

b提示:对于任意实数?，考虑

??f(x)??g(x)?a2dx.

6.设函数f(x)在闭区间[a,b]上可微分，且f(a)?f(b)?0.证明：若导数f?(x)在区间[a,b]上不恒等于0，则至少有一点??(a,b)，使

f?(?)?4(b?a)2?baf(x)dx

提示：若导函数f?(x)在区间[a,b]上是无界的，则上面的结论显然成立.在相反情形下，就令M?supf?(x)(最小上界)，于是，根据微分中值定理，

a?x?b??f(x)?f(a)?f?(?1)(x?a)?M(x?a),?f(x)???f(x)?f(b)?f?(?)(x?b)?M(b?x),2??a?b??a?x?,a???x,1??2???a?b??x?b,x???b2?2?.??

7.设f为连续函数.在等号后面写出答案： ⑴

ddx?xf(t)dt?_____；⑵

addt?xf(t)dt?_____；⑶

adda?xf(t)dt?_____.

a答案：⑴f(x)；⑵0；⑶?f(a).

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§4-2 关于连续函数积分的结论 157

8.填空： ⑴

ddxddx??x20basint2dt?____________________；

⑵cosx2dx?____________________；

⑶

ddt?lntt2e?xdx?_____________________.

12t2?t42答案：⑴2xsinx4；⑵0；⑶9.设f(x)为连续函数. ⑴ 若f满足恒等式⑵ 若f满足恒等式答案:⑴

112lnt?2te.

??x3?1f(t)dt?x?1，求f(7)；

0e1?xf(t)dt?e?1，求f(x).

x；⑵?1x2.

10.设f(x)在区间[a,b]上为连续函数.用洛必达法则求极限

?1lim?x?a??x?ax?a?f(t)dt?

?答案：f(a)

11.设f(x)在闭区间[a,b](a?b)上为正值连续函数.证明方程

xx?在开区间(a,b)内有唯一实根.

???xf(t)dt?a?1f(t)dt?0

b12.设P(x),Q(x),R(x),S(x)为多项式.证明：

?a??P(x)R(x)dx????x?a??Q(x)S(x)dx?????x?a??P(x)S(x)dx????x?a?Q(x)R(x)dx?

?可被(x?a)4整除.

13.设函数f(x)在区间[0,??)上连续.若f(x)是非负的增函数，证明函数

?1?F(x)??x?0,?x?tf(t)dt,x?00

x?0在[0,??)上也是非负的增函数.

提示：先证F(x)在点0右连续，再证F?(x)?0(0?x???). 14.求下列极限：

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158 第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广

⑴ limx?01x0?costdt； ⑵ limsinx2???x??0x0?t2edt??e2tdt22.

x??答案：⑴?1；⑵0.

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