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第七章 相因子物理

经典电磁理论中的势

一、静电势

静电场是一个保守力场，它可以由场的环路积分等于零来表示，?E?dl?0。我们可以定义一个势函数来描述电场

?? ?V??dV???E?dl (7.1)

这个定义只能给出电势V的改变量?V，而

不能给出它的绝对大小。电势V的绝对大

oˊ 小往往是一个不确定的量，正如在重力场 中可以随意选取零势面一样（见图7-1）。 虽然电势具有一定的不确定性，但这并不

影响电场强度 ? E= -?V o 若V??V?恒量，则

?? E????V????V?E

图7-1重力场 我们称电场E是物理上可测量的场。

二、磁矢势

? 类似于电场，在磁场中，我们引入矢势A，它和磁感应强度B的关系为

?? B???A （7.3）

??显然，若A??A??a(x,y,z)，其中，a是x,y,z的任意连续可微函数，则

???? B????A????A?B

这表明，矢势A同电势V一样，也是一个不可确定的量，但磁场B是确定的，是物理上可测量的场。矢势的绝对大小不可测，只能确定到相差一个任意函数的梯度。

借助于相对论，可以把上面的讨论作统一表示。定义一个4维矢势A??(A0,A1,A2,A3)，其中A0?iV，及电磁场张量

F?v???Av??vA??? (7.4)

这里

?0???B3??B2???iE1B30?B1iE2?B2B10iE3?iE1???iE2? ??iE3?0??

F?v??A????a 对于A? 有

F??v???Av???vA?????Av??vA??F?v

所以，A?是不可测量的场，它具有不确定性。场强张量F?v是可测量的。在经典理论中，往往人为地加以某些条件，称为规范条件，使A?具有确定性。例如：电磁势A?并非是真实的物理场。它们的引入纯粹是为了计算方便。

?库仑规范??A?0，洛仑兹规范??A??0等等。总之，在经典理论中，人们认为

考察带电粒子在电磁场中的运动时，必须将粒子的动能p2/2m用

?2??(p?eA)2m代替，称p为粒子的正则动量。这是由于带电粒子与电磁场相互作

?用（称为最小耦合原理），矢势A对动量有贡献。尽管如此，由于在电磁规范变

换下，动量并非不变，故这种贡献在物理上仍是不确定的。

量子理论中的电磁势

在量子理论中，力学量都是厄米算符。对应于经典动量p??eA?的算符是

???i???eA??i?????eA p?????????A???i?e (7.6)

另外，量子理论中，微观粒子由波函数描述，自由粒子的波函数是一个平面波

??

?0e?i???(?t?p?r)

(7.7)

这里，动量p可以通过位移使波函数发生相移

?????p?eA???p?dr? (7.8)

考虑最小耦合原理，以

A代替p，则

?

??eA?dr? ???????(p?eA)?dr? (7.9)

于是???

表示矢势A对波函数的相因子有贡献。这里，相移??A似

??乎又是一个非确定的量。实际上，当A??A??a时，则??A????A。然而，对于一闭合环路，相移

??A???e??A?dr (7.10)

却是确定的，因为?a?dr?0。

所以，在量子理论中，我们发现，电磁势A?的环路积分

???A?dx?，是一个

确定的量，它与规范变换无关。剩下的问题是环路积分的物理意义是什么。 为此，我们来观察一个带电粒子的干涉现象。图7-2表示一束带电粒子在S处分为两束，一束沿SEP，另一束沿SDP，在会合处P点产生干涉。SEPD是一

个平行四边形。在无外场也无势场的情况下，

由于

?? P?dx?P?dx (7.11) E

S Φ P

D 粒子在无场强区的干涉 图7-2

??SEPSDP

或 ????P?dx?0 ?SEPDS即位相差为零，如果粒子处在无场强的势场中，则

?????A?e??A?dx?

(7.12)

由此可见，环路积分

?A?dx?决定了位相差??A，因而也决定了粒子的干涉条纹。

这个发现是1959年由Aharonov和Bohm首先提出的，所以称之为Aharonov-Bohm效应。

Aharonov-Bohm效应

1985年Akira. Tonomura 等人利用超导体禁闭磁通，从实验中成功地证实了Aharonov-Bohm效应。这个实验相当精密，整个超导环体只有数个微米的尺度，见图7-3(a)。其中，金属Nb作超导体用，环心是零点几个微米厚的玻-莫合金环，其上覆盖一层SiO以减少玻莫合金的矫顽力。整个环由金属Nb支架支撑着，见图7-3(b)。

Nb 玻莫合金

(a) (b) 2μm

SiO

图7-3 超导环体的结构

由于从环内、环外穿过的电子束所处的矢势A方向相反，使环路积分

e????A?dr?0

参考波 物波

图7-4 实验装置图

于是引起干涉。实际装置如图7-4所示，利用全息照相原理，让环内、环外的电子束分别与参考波干涉。当环内无磁通时，环内、外干涉条纹是一致的。若环内有磁通，则内、外条纹将产生移动。图7-5是无磁通时放大的干涉条纹照片，图7-6是有磁通时放大的干涉条纹照片。

Aharonov-Bohm效应使我们清楚地认识到，用场强来描述物理现象是不够的，而用4维矢势A?来描述又显得多余，即许多不同的A?对应着同一物理现象。只有相因子

?A?dx?能确切地描述物理现象。因此，

人们称此类问题为相因子物理。

图7-5无磁通时的照片 图7-6有磁通时的照片

相因子物理

相因子物理在许多地方都可以遇到，上节中介绍的Aharonov-Bohm效应就是一例。此外在许多粒子干涉效应中，均存在相因子物理。这里，我们再列举一例，约瑟夫森结。

约瑟夫森结是由一个绝缘势垒隔开的两块超导体构成的。超导波函数（电子对波函数）可看作由两个部分组成：一部分从超导体I出发进入绝缘体，呈指数形式衰减；另一部分从超导体II出发进入绝缘体，也呈指数衰减。因为两边电子浓度相等，所以两边贡献的绝对值必相等。唯一可选择的波函数变量是相位?1和?2，若中间绝缘层足够厚以至于指数衰减为零，则绝缘层中总波函数（见图7-7）为

超导体Ⅰ 绝缘体 超导体Ⅱ ψ1 ψ2 图7-7 超导波函数的组成

??e?e?kai?1?k(x?a)?e?ei?2?k(x?a)(ei?1?kxi?2?kx) (7.13)

在无磁场时，结区电流为 j??(2e)2(2me)[?*??????*]

(7.14)

将（7.13）式代入式（7.14），

j?2?e2meke?2kasin?(2??1)?j0sin??emeke?2ka (7.15)

式中，j0? 为特征常数，??(?2??1)是相位差。若存在 磁场,且将两个结并成一个环路（见图7-8）， 每一个结有一个?值，记为?1，?2，则沿环路

的相位差为

??图7-8并联的两个约瑟夫森结 2eA?dl??1??2?2?n

?? (7.16)

其中，n为整数。如果?1??2??2，则（7 .16）式表示：最大电流通过并联的两

个结时，需要磁通满足量子化条件。利用这一原理，可以做成一个称为SQUID的精密测量仪器，这是相因子物理的一个重要应用。