四年级奥数三角形等高模型和鸟头模型(B级)

三角形等高模型和鸟头模型

知识框架

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发1生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的，则三角形面积与原来的

3一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S1:S2?a:b

AS1aS2b

BCD

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S△ACD?S△BCD； 反之，如果S△ACD?S△BCD，则可知直线AB平行于CD．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

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板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEBCEBC

例题精讲

【例 1】 如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD?12厘米，DE?3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC

面积的几倍？

AEBDC

【巩固】 如图30-5，设正方形ABCD的面积为1，E，F分别为边AB，AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面

积是多少?

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【例 2】 ABCD是边长为12的正方形，如图所示，P是内部任意一点，BL?DM?4、BK?DN?5，那

么阴影部分的面积是 ．

APNLBKDMC

【巩固】 在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，

分别与P点连接,求阴影部分面积．

ADPBC

【例 3】 如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为m，n，那么△AFG的面积的值（ ） A、只与m的大小有关 B、只与n的大小有关 C、与m、n的大小都有关 D、与m、n的大小都无关

ADGFBCE

【巩固】 如图30-2，已知四边形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的边长为10厘米，那么图中阴

影三角形BFD的面积为多少平方厘米?

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?ABC的面积是 平【例 4】 如右图，AD?DB，AE?EF?FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，

方厘米．

BDAEFC

【巩固】 图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是

BF 长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？

AEFB

【例 5】 如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．

DC

FABGD

【巩固】 如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘

米？

EAFDGCBEC

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