b第六章 - 线性空间测试题

高等代数第六章——线性空间测试题

一、填空题

（1） 已知R3的两组基Ⅰ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(0,0,1)； Ⅱ?1?(1,0,1),?2?(0,1,1),?3?(1,1,0)

那么由Ⅱ到Ⅰ的过渡矩阵为 。 （2）在P2?2中，已知A1???11??，A2???0?10??，A3????????11??11??11??10???，是A4?????0??00??12?P2?2的基，那么，A???34??在该基下的坐标为 。

???x1?x2?x3?x4?0（3）设W1是方程组x1?x2?x3?x4?0解空间，W2是方程组??x1?x2?x3?x4?0那么W1∩W2是方程组 的解空间。

（4）设W1??L?1,1,0?,?1,0,1??,W2?L??0,1,1?,?1,2,3?? dim?W1?W2?? 。

W2都是V的子空间，（5）设W1、且W1+W2为直和，那么dim?W1?W2?? 。

二、判断题：

（1）一个线性方程组的全体解向量必做成一个线性空间。（ ） （2）实数域R上的全体n几级可逆矩阵做成Pn?n的子空间。（ ）

（3）齐次线性方程组的解空间的维数等于自由未知数的个数。（ ） （4）线性空间V中任意两个子空间的并集仍是V的子空间。（ ）

（5）在子空间的和W1+W2中，如果0??1??2(?1?w1,?2?w2)，且这种表示形式唯一，那么W1+W2为直和。（ ）

三、在P2?2中，G1?11? ?1a??11??a1?G?????G?,G?,???,?1a???11?2?11?3?a1?4?????????当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性相关？ 当a为何值时，G1,G2,G3,G4线性无关？

四、设P[x]3??ao?a1x?a2x2|ao,a1,a2?P?

（1）证明1，x?1,x?1是P[x]3的基，并求由该基到基x,x,1的过渡矩阵。 （2）求f(x)?1?x?x在基1，x?1,x?1下的坐标。

五、设W1?L(?1,?2),?1?(1,1,0),?2?(0,1,1)，W2是齐次方程x1?x2?x3?0的解空间，求W1+W2，W1?W2的一组基和维数。

2222六、设V??(a?bi,c?di)|a,b,c,d?R,i2??1?把V看成R上的线性空间，证明：

?1?(1,0),?2?(i,0),?3?(0,1),?4?(0,i)是V的一组基。

七、设A2?A,W1是AX?0的解空间，W2是 (A?E)X?0的解空间，证明：

W1?W2?Pn。

八、设W??(a,a?b,a?b)|a,b?R?证明：

（1）W关于R中的向量的加法和数乘运算做成R上的线性空间。 （2）W?R。

23