全国百强校Word江苏省南京市金陵中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学试题

金陵中学2017-2018学年度第二学期期末考试

高二数学试卷

数学I

一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填在答题卡相应位置上.

1.设集合A?{2,4},B?{2,6,8},则A?B? .

2.已知复数z?(1?2i),其中i是虚数单位,则|z|的值是 .

3.某校共有教师200人,男学生1200人,女学生1000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为

2n的样本,已知从女学生中抽取的人数为50人,那么n的值为 .

4.如图是一算法的伪代码,则输出值为 .

5.如图,在长方体ABCD?A1B1C1D1中, AB?AD?3cm,AA1?2cm,则三棱锥A1?AB1D1的体积为 .

x226.在平面直角坐标系xOy中,若双曲线2?y?1(m?0)的一条渐近线方程为x?3y?0,则实数m的

m值为 .

7.设各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若a5?a2?78,S3?13,则数列{an}的通项公式为

an? .

8.将一颗均匀的骰子连续抛掷2次,向上的点数依次记为m,n,则“m?2n”的概率是 .

??1?x?y?4,9.若实数x,y满足条件?则z?4x?2y的取值范围为 .

2?x?y?3,?10.在平面直角坐标系xOy中,已知f(x)?cosx,g(x)?3sinx,两曲线y?f(x)与y?g(x)在区间

(0,)上交点为A.若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B,C两点,则线段BC的为 .

2

????????11.如图,在平面四边形ABCD中, O是对角线AC的中点,且OB?10，OD?6. 若DA?DC??28,则

?????????BA?BC的值为 .

12.若对满足x?y?6?4xy的任意正实数x,y,都有x?2xy?y?ax?ay?1?0,则实数a的取值范围为 .

22x2y213.在平面直角坐标系xOy中,记椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1,F2，若该椭圆上恰好有

ab6个不同的点P,使得?F1F2P为等腰三角形,则该椭圆的离心率的取值范围是 . 14.对于任意的实数m,n,记min{m,n}为m,n中的最小值.设函数f(x)?x?21?a，g(x)??lnx，函4x数h(x)?min{f(x),g(x)},若h(x)在(0,??)恰有一个零点,则实数a的取值范围是 .

二、解答题:本大题共6小题,共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程.

15.在平面直角坐标系xOy中,设向量m?(sinx,?1),n?(3cosx,cosx). (1)当x???2?3时,求m?n的值；

(2)若x?[0,?4]，且m?n?31?.求cos2x的值. 3216.如图,在四棱锥P?ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD?平面ABCD, AP?AD,点M在棱

PD上, AM?PD,点N是棱PC的中点,求证：

(1) MN∥平面PAB; (2) AM?平面PCD.

17.如图,在一个水平面内,河流的两岸平行,河宽1(单位:千米)村庄A,B和供电站C恰位于一个边长为2(单位:千米)的等边三角形的三个顶点处,且A,C位于河流的两岸,村庄A侧的河岸所在直线恰经过BC的中点D.现欲在河岸上A,D之间取一点E,分别修建电缆CE和EA,EB.设?DCE??,记电缆总长度为

f(?) (单位:千米).

(1)求f(?)的解析式；

(2)当?DCE为多大时,电缆的总长度f(?)最小,并求出最小值.

x2y23118.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为,且过点(3,).设

ab22F为椭圆的右焦点, A,B为椭圆上关于原点对称的两点,连结AF,BF并延长,分别交椭圆于C,D两点.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线AB,CD的斜率分别为k1,k2,是否存在实数m,使得k2?mk1?若存在,求出实数m的值;若不存在,请说明理由.

19.设数列{an}的前n项的和为Sn,且满足a1?2,对?n?N,都有an?1?(p?1)Sn?2 (其中常数

*p?1),数列{bn}满足bn?1log2(a1a2?an). n(1)求证:数列{an}是等比数列； (2)若p?222017,求b2018的值；