江苏省徐州市沛县2014-2015学年八年级（下）期中数学试卷（解析版）(1)

∴BC=BE，

即△BEC是等腰三角形； ②∵∠ABE=45°，∠A=90°， ∴BE=

AB=2

． ，

∴BC=BE=2

【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定以及三角函数；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

四、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分，解答时应写出必要的步骤） 23．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF． 求证：四边形BECF是平行四边形．

【考点】平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．

【分析】通过全等三角形（△AEB≌△DFC）的对应边相等证得BE=CF，由“在同一平面内，同垂直于同一条直线的两条直线相互平行”证得BE∥CF．则四边形BECF是平行四边形． 【解答】证明：∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB=∠DFC=90°， ∵AB∥CD， ∴∠A=∠D，

在△AEB与△DFC中，

，

∴△AEB≌△DFC（ASA）， ∴BE=CF．

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∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴BE∥CF．

∴四边形BECF是平行四边形．

【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

24．某校对该校八（1）班学生上学期期末考试数学成绩（成绩取整数，满分为100分，该班学生成绩均不低于50分）作了统计分析，绘制成如图频数分别直方图和频数、频率分别表，请你根据图表提供的信息，解答下列问题：

49.5～59.5 59.5～69.5 69.5～79.5 79.5～89.5 89.5～100.5 分组 合计 2 频数 0.04 频率 A 0.16 20 0.40 16 0.32 4 B 50 1

（1）频数、频率分布表中a= 8 ，b= 0.08 ；（答案直接填在题中横线上 ） （2）补全频数分布直方图；

（3）若该校八年级共有600名学生，且各个班级学生成绩分布基本相同，请估计该校八年级上学期期末考试成绩低于70分的学生人数．

【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表．

【分析】（1）根据a=总人数﹣各分数段的人的和计算即可得解，b=1﹣各分数段的频率的和计算即可得解；

（2）根据第二组的频数补全统计图即可；

（3）用总人数乘以分数低于70分的频率即可求得低于70分的人数． 【解答】解：（1）a=50﹣2﹣20﹣16﹣4=50﹣42=8， b=1﹣0.04﹣0.16﹣0.40﹣0.32=1﹣0.92=0.08；

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故答案为：8，0.08．

（2）如图所示；

（3）该校八年级上学期期末考试成绩低于70分的学生人数为600（0.04+0.16）=120人．

【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

五、解答题（共1小题，满分10分，解答时应写出必要的步骤）

25．（1）如图①，正方形ABCD①中，点E、F分别在边BC、CD上，∠EFA=45°，延长CD到点C，使DG=BE，连结EF、AG，求证：EF=FG；

N在边BC上，AB=AC，∠BAC=90°，（2）如图②，在△ABC中，点M、且∠MAN=45°，若BM=2，CN=3，求MN的长．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．

【分析】（1）欲证明EF=FG，只需证得△FAE≌△GAF，利用该全等三角形的对应边相等证得结论；EN．（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM=AE、对应角∠BAM=∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质

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和∠MAN=45°得到∠MAN=∠EAN=45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN=EN；最后由勾股定理得到EN2=EC2+NC2即MN2=BM2+NC2．

【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ABE=∠ADG，AD=AB，∵在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴∠BAE=∠DAG，AE=AG， ∴∠EAG=90°， 在△FAE和△GAF中，

，

∴△FAE≌△GAF（SAS）， ∴EF=FG；

（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE=BM．连接AE、EN．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=∠ACB=45°． ∵CE⊥BC，∴∠ACE=∠B=45°． 在△ABM和△ACE中，

，

∴△ABM≌△ACE（SAS）． ∴AM=AE，∠BAM=∠CAE．

∵∠BAC=90°，∠MAN=45°，∴∠BAM+∠CAN=45°． 于是，由∠BAM=∠CAE，得∠MAN=∠EAN=45°． 在△MAN和△EAN中，

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