2016 - 2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3 - 4空间向量基本定理空间向量的坐标表示学案

1．定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

2．找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变换、化简，最后求出结果．

3．下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

[再练一题]

→→→

1．如图3-1-14所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，P是

CA1的中点，M是CD1的中点．用基底{a，b，c}表示以下向量：

→→(1)AP；(2)AM.

图3-1-14

【解】 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，连结AC，AD1，

→1→→(1)AP＝(AC＋AA1)

21→→→＝(AB＋AD＋AA1) 21

＝(a＋b＋c)． 2

→1→→1→→→11(2)AM＝(AC＋AD1)＝(AB＋2AD＋AA1)＝a＋b＋c.

2222

空间向量的坐标运算 如图3-1-15，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，

→

并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量MN的坐标．

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图3-1-15

→→→

【精彩点拨】 根据题意，以AB，AD，AP为单位正交基底，建立空间直角坐标系，再用→→→→

AB，AD，AP表示向量MN，即可得到结果．

【自主解答】 法一：∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，

→→→

∴AB，AD，AP是两两垂直的单位向量．

→→→

设AB＝e1，AD＝e2，AP＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz，如图所示．

→→→→∵MN＝MA＋AP＋PN 1→→1→＝－AB＋AP＋PC

221→→1→→＝－AB＋AP＋(PA＋AC)

22

1→→1→→→＝－AB＋AP＋(PA＋AB＋AD)

22

→?11?1→1→11

＝AD＋AP＝e2＋e3，∴MN＝?0，，?. 2222?22?法二：∵P(0,0,1)，C(1,1,0)，

?111?∴N?，，?. ?222??1?又∵M?，0，0?， ?2?

→?11?∴MN＝?0，，?.

?22?

6

→

1．本题的两个解法出发点不同，法一侧重于用基底表示MN，然后向坐标转化；法二则是直接利用向量的坐标运算，更简便．

2．运用坐标进行向量运算，实质就是将向量运算转化为数字运算，体现了转化思想的运用．

[再练一题]

2．已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图→→→

3-1-16所示的空间直角坐标系，试写出DB1，DE，DF的坐标．

图3-1-16

→→

【解】 ∵D(0,0,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，∴DB1＝(2,2,2)，DE＝(2,2,1)，→

DF＝(0,1,0)．

空间向量平行的坐标表示 →→

已知空间三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3，0,4)，设a＝AB，b＝AC. →

(1)设|c|＝3，c∥BC，求c；

(2)是否存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

【精彩点拨】 根据共线向量定理及空间向量平行的坐标表示可解． →→

【自主解答】 (1)由条件，易得BC＝(－2，－1,2)，因为c∥BC， →

故设c＝λBC＝λ(－2，－1,2)＝(－2λ，－λ，2λ)，又因为|c|＝3，

∴4λ＋λ＋4λ＝9，解得λ＝±1，故c的坐标为(－2，－1,2)或(2,1，－2)． (2)a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，ka＋b＝(k－1，k,2)．

2

2

2

ka－2b＝(k＋2，k，－4)，假设存在实数k，使(ka＋b)∥(ka－2b)，即存在实数λ，

使ka＋b＝λ(ka－2b)，即(k－1，k,2)＝λ(k＋2，k，－4)，

k－1＝λ?k＋2?，??

即?k＝λk，??2＝－4λ，

7

1

解得λ＝－，k＝0，

2

所以存在实数k＝0，使(ka＋b)∥(ka－2b)．

x1＝λx2，??

两向量平行的充要条件有两个：①a＝λb，②?y1＝λy2，

??z1＝λz2，

共线，也可以通过两向量平行求待定字母的值.

依此既可以判定两向量

[再练一题]

3．设a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，计算2a＋3b,5a－6b，并确定λ，μ的值，使λa＋μb与向量b平行. 【导学号：09390072】

【解】 ∵a＝(2,3,0)，b＝(－3，－2,1)，

∴2a＋3b＝2(2,3,0)＋3(－3，－2,1)＝(4,6,0)＋(－9，－6,3)＝(－5,0,3)， 5a－6b＝5(2,3,0)－6(－3，－2,1)＝(10,15,0)－(－18，－12,6)＝(28,27，－6)． ∵λa＋μb＝λ(2,3,0)＋μ(－3，－2,1)＝(2λ－3μ，3λ－2μ，μ)，且(λa＋μb)∥b，

∴

2λ－3μ3λ－2μμ

＝＝， －3－21

∴λ＝0，μ∈R，

即λ＝0，μ∈R时，λa＋μb与b平行．

[探究共研型]

探究1 如何建立空间直角坐标系？ 空间向量的坐标运算 【提示】 (1)用空间向量的坐标运算解决问题的前提是建立恰当的空间直角坐标系，为便于坐标的求解及运算，在建立空间直角坐标系时，要充分分析空间几何体的结构特点，应使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．

(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系化为坐标运算，并且按照右手系建系，如图所示．

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