2016 - 2017学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3 - 4空间向量基本定理空间向量的坐标表示学案

3.1.3 空间向量基本定理 3.1.4 空间向量的坐标表示

1．了解空间向量的基本定理及其意义，理解空间向量的正交分解，掌握用基底表示空间向量的方法．(重点、难点)

2．理解空间向量坐标的定义，掌握其坐标表示，掌握向量加法、减法及数乘的坐标运算法则．(重点)

3．基向量的选取及应用．(易错点)

[基础·初探]

教材整理1 空间向量基本定理

阅读教材P87～P88例1以上的部分，完成下列问题． 1．空间向量基本定理

如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在惟一的有序实数组(x，y，

z)，使p＝xe1＋ye2＋ze3.

2．基底、基向量

在空间向量基本定理中，e1，e2，e3是空间不共面的三个向量，则把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫做基向量.0不能作为基向量．

3．正交基底、单位正交基底

如果空间一个基底的三个基向量是两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底．特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，

k}表示．

4．空间向量基本定理的推论

设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在惟一的有序实数组(x，y，

1

→＋zOC. z)，使得OP＝xOA＋yOB

设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组： ①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有________个．

→→→→→→

【解析】 如图所示，设a＝AB，b＝AA1，c＝AD，则x＝AB1，y＝AD1，z＝AC，a＋b＋c→

＝AC1.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，

→→→

a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因为x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基

底．

【答案】 3

教材整理2 空间向量的坐标运算

阅读教材P89～P90例1以上的部分，完成下列问题． 1．空间向量的坐标

→

在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则AB＝(a2－a1，b2－b1，c2－

c1)；当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点坐标就是向量a的坐标．

2．空间向量的坐标运算

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量的加法 向量的减法 数乘向量 向量平行 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R a∥b(a≠0)? b1＝λa1，b2＝λa2，b3＝λa3，λ∈R

已知向量a＝(－1,0,2)，2a＋b＝(0,1,3)，则b＝________. 【解析】 b＝(2a＋b)－2a＝(0,1,3)－2(－1,0,2)＝(2,1，－1)． 【答案】 (2,1，－1)

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

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疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

基底的判断 (1)若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是________(填序号)．

①{a，a＋b，a－b}；②{b，a＋b，a－b}；③{c，a＋b，a－b}；④{a＋b，a－b，a＋2b}．

→→→

(2)若{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且向量OA＝2e1＋e2＋e3，OB＝e1－e2＋2e3，OC＝

ke1＋3e2＋2e3不能作为空间的一组基底，则k＝________.

→

【精彩点拨】 (1)看各组向量是否共面，共面不能作为基底，否则可作基底；(2)OA，→→

OB，OC共面，利用共面向量定理求解．

【解析】 (1)若c，a＋b，a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－

m)b，则a，b，c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．

→→→→→→

(2)因为OA，OB，OC不能作为空间向量的一组基底，故OA，OB，OC共面． →→→

由共面向量定理可知，存在实数x，y，使OC＝xOA＋yOB， 即ke1＋3e2＋2e3＝x(2e1＋e2＋e3)＋y(e1－e2＋2e3)．

k＝2x＋y，??

故?3＝x－y，??2＝x＋2y，

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解得x＝，y＝－，k＝5.

33

【答案】 (1)③ (2)5

3

基底的判断

判断某一向量组能否作为基底，关键是判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．

用基底表示空间向量 如图3-1-13所示，空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设

→

OA＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a，b，c表示向量GH→

.

图3-1-13

【精彩点拨】

→GH＝→OH－→OG→用→OD表示→OH→

用→OB，→OC表示→OD，用→OA，→AG表示→OG→用→AD表示→AG →用→OD，→OA表示→AD→用→OB，→OC表示→OD 【自主解答】 →GH＝→OH－→OG，∵→OH＝2→

3OD，

∴→OH＝21→→1

3×2(OB＋OC)＝3(b＋c)，

→

OG＝OA→＋AG→＝OA→

＋2AD→3

＝→OA＋23(→OD－→OA)＝1→21→→3OA＋3×2(OB＋OC)

＝13a＋1

3

(b＋c)， ∴→GH＝13(b＋c)－13a－13(b＋c)＝－13a，

即→GH＝－13

a.

用基底表示向量的技巧

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