2015年中考数学压轴题及答案精选（二）

2015年中考数学压轴题汇编（二）

31．（12分）（2015?宜昌）如图1，B（2m，0），C（3m，0）是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且m＞0，E（0，n）为y轴上一动点，以BC为边在x轴上方作矩形ABCD，使AB=2BC，画射线OA，把△ADC绕点C逆时针旋转90°得△A′D′C′，连接ED′，抛物线y=ax+bx+n（a≠0）过E，A′两点．

（1）填空：∠AOB= 45 °，用m表示点A′的坐标：A′（ m ， ﹣m ）； （2）当抛物线的顶点为A′，抛物线与线段AB交于点P，且

=时，△D′OE与△ABC是否

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相似？说明理由；

（3）若E与原点O重合，抛物线与射线OA的另一个交点为点M，过M作MN⊥y轴，垂足为N：

①求a，b，m满足的关系式；

②当m为定值，抛物线与四边形ABCD有公共点，线段MN的最大值为10，请你探究a的取值范围．

考点：二 次函数综合题． 专题：综 合题． 分析：（ 1）由B与C的坐标求出OB与OC的长，根据OC﹣OB表示出BC的长，由题意AB=2BC，表示出AB，得到AB=OB，即三角形AOB为等腰直角三角形，即可求出所求角的度数；由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即可确定出A′坐标； （2）△D′OE∽△ABC，理由如下：根据题意表示出A与B的坐标，由=，表示出P坐标，由抛物线的顶点为A′，表示出抛物线解析式，把点E坐标代入整理得到m与n的关系式，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似即可得证； 2（3）①当E与原点重合时，把A与E坐标代入y=ax+bx+c，整理即可得到a，b，m的关系式； ②抛物线与四边形ABCD有公共点，可得出抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小，分两种情况考虑：若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10，求出此时a的值；若抛物线过点A（2m，2m），求出此时a的值，即可确定出抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围． 解答：解 ：（1）∵B（2m，0），C（3m，0）， ∴OB=2m，OC=3m，即BC=m， ∵AB=2BC， ∴AB=2m=0B， ∵∠ABO=90°， ∴△ABO为等腰直角三角形， ∴∠AOB=45°， 由旋转的性质得：OD′=D′A′=m，即A′（m，﹣m）； 故答案为：45；m，﹣m； （2）△D′OE∽△ABC，理由如下： 由已知得：A（2m，2m），B（2m，0）， ∵=， ∴P（2m，m）， ∵A′为抛物线的顶点， 2∴设抛物线解析式为y=a（x﹣m）﹣m， ∵抛物线过点E（0，n）， 2∴n=a（0﹣m）﹣m，即m=2n， ∴OE：OD′=BC：AB=1：2， ∵∠EOD′=∠ABC=90°， ∴△D′OE∽△ABC； （3）①当点E与点O重合时，E（0，0）， 2∵抛物线y=ax+bx+c过点E，A， ∴， 整理得：am+b=﹣1，即b=﹣1﹣am； ②∵抛物线与四边形ABCD有公共点， ∴抛物线过点C时的开口最大，过点A时的开口最小， 若抛物线过点C（3m，0），此时MN的最大值为10， ∴a（3m）2﹣（1+am）?3m=0， 整理得：am=，即抛物线解析式为y=x﹣x， 2由A（2m，2m），可得直线OA解析式为y=x， 联立抛物线与直线OA解析式得：解得：x=5m，y=5m，即M（5m，5m）， 令5m=10，即m=2， 当m=2时，a=； 若抛物线过点A（2m，2m），则a（2m）﹣（1+am）?2m=2m， 解得：am=2， 2， ∵m=2， ∴a=1， 则抛物线与四边形ABCD有公共点时a的范围为≤a≤1． 点评：此 题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定与性质，直线与抛物线的交点，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 32．（12分）（2015?孝感）在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；

（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．

①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；

②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．

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考点：二 次函数综合题． 分析：（ 1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式； （2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解； ②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代入直线y=kx即可求出k的值． 解答：解 ：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点， ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点， ∴，解得：， 2∴抛物线的解析式为（2）①如图1 ∵， ． ∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1． ∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，PQ=AO=4． ∵P，Q都在抛物线上， ∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ∴P点的横坐标是﹣3， ∴当x=﹣3时，∴P点的坐标是； ， ②过P点作PF∥OC交AC于点F， ∵PF∥OC， ∴△PEF∽△OEC， ∴又∵∴， ． ， 设点F（x，x+4）， ∴2， 化简得：x+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 当x=﹣1时，即P点坐标是又∵点P在直线y=kx上， ∴． ；当x=﹣3时，或， ．