线性代数习题参考答案

7． 若向量组?1, ?2, ?3线性无关，问常数l,m需满足什么条件时，向量组

l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关？

（提示：用定义判定）

解：设x1?l?1??2??x2??2??3??x3?m?3??1??0 即有

?lx1?x3??1??x1?x2??2??x2?mx3??3?0

由向量组?1, ?2, ?3线性无关得

?lx1?x3?0??x1?x2?0 ?x?mx?03?2l方程组的系数行列式为10110?lm?1，由克拉姆法则得lm?1?0时方程组只有零解。

01m当lm??1时l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关。

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8．判断题

（1）若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则任一向量?i(1?i?m)可由其余向量线

性表出。 （ ? ） 正确为：若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则至少有一个向量?i(1?i?m)可

??1??0??0??????????由其余向线性表出。反例：??0?,?1?,?0??

??0??0??0??????????（2）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 向量组?1, ?2, , ?m，有?1?1??2?2???m?m?0，则

, ?m线性相关。 （ ? ）

思考一下这在什么情况下发生 （3）若?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关，则有不全为零的数

?1, ?2, , ?m，使 ?1?1??2?2???m?m?0，

?1?1??2?2???m?m?0同时成立。 （ ? ）

, ?m，使

（4）若有不全为0的数?1, ?2, ?1?1??2?2????m?m??1?1??2?2????m?m?0

成立，则?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关。 （ ? ）

（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则

这三向量共面。 （ ? ）

9．选择题

（1）n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ D ）

??s?s?0；

（A）存在不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2???1??0??0???1??0??0???????????????反例??0?,?1?,?0??线性相关但0?0??0?1???0??0

??0??0??0???0??0??0???????????????正确应为： n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是

??s?s?0

对任意的不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2? （B）?1,?2,

,?s中任意两个向量线性无关；

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（C）?1,?2, （D）?1,?2,（2）设?1,?2,,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； ,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。

,?m均为n维向量，那么下列结论正确的是（ B ）

??m?m?0，则?1, ?2, ,?m线性相关；

??m?0时均有

（A）若?1?1??2?2?注意：无论?1,?2,,?m是否无关，当?1? ?2? ?1?1??2?2???m?m?0

,?m，有?1?1?2?2????m?m?0，

（B）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 则向量组?1, ?2, ,?m线性无关；

??m?m?0只有?1? ?2? ??m?0。

, ?m，

注意：（B）意味着 ?1?1??2?2? （C）若?1, ?2, 有?1?1??2?2?注意：?1, ?2, , ?m线性相关，则对任意一组不全为零的数?1, ?2, ??m?m?0；

, ?m线性相关只是至少存在不全为零的数?1, ?2, , ?m，有

?1?1??2?2???m?m?0未必是对任意一组不全为零的数有

?1?1?????m?m?0 2?2 （D）因为0?1?0?2??0?m?0，所以?1, ?2, , ?m和?1, ?2, , ?m和

, ?m线性无关。

(3) 设有任意两个n维向量组?1, ?2, 全

为

零

的

数

, ?m，若存在两组不

, km,

使

?1, ?2, k1, k2, (?1?k1)?1?(?2?k2)?2?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2?（A） ?1, ?2, （B） ?1, ?2, （C） ?1??1,（D） ?1??1,注意：

?(?m?km)?m??(?m?km)?m?0，则 （ D ）。

, ?m 和?1, ?2, , ?m 和?1, ?2, ,?m??m,?1??1,,?m??m,?1??1,, ?m都线性相关； , ?m都线性无关； ,?m??m线性无关； ,?m??m线性相关。

(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?0??1??1??1???2??2??2??

??m??m??m??k1??1??1??k2??2k?2??35

?km??m??m??0（4）向量组?1, ?2, ?3线性无关，则下列向量组线性相关的是（ B ）。 （A）?1??2,?2??3,?3??1 ； （B）?1,?1??2,?1??2??3；

（C）?1??2,?2??3,?3??1 ； （D）?1??2,2?2??3,?1?3?3。 注意：向量组?1, ?2, ?3与向量组?1,?1??2,?1??2??3等价。

?1, ?2, ?3线性无关故秩为3，故?1,?1??2,?1??2??3秩也为3。

?a11??a12（5）设向量组（I）：?????????a13??1?a?21，?2?a22，?3?a?a?31??????a32????23；

?a?33????a11??a13?向量组（II）：?a???a12?????a14?211????，?2??a22?，?a??233???a31??a?，?4??a24?，则（ 33??a???a32????a34?41??a?42??a???a?4344?（A） （I）相关?（II）相关； （B） （I）无关?（II）无关； （C） （II）无关?（I）无关； （D） （I）无关?（II）无关。 （6）若向量组?,?,?线性无关，?,?,?线性相关，则（C）

（A）?必可由?,?,?线性表示； （B）?必不可由?,?,?线性表示；（C）?必可由?,?,?线性表示； （B）?必不可由?,?,?线性表示。注意：向量组?,?,?线性无关，??,?线性无关，又?,?,?线性相关

??必可由?,?线性表示；??必可由?,?,?线性表示；

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）