线性代数习题参考答案

?x1?x2?x3?0?解：设x1?1?x2?2?x3?3?0即有齐次线性方程组?x1?2x2?x3?0。

?3x?x?0x?03?121?1线性方程组的系数行列式为11?1??1?0，故由克拉姆法则方程组只有零解，2310即只存在全为零的数使得x1?1?x2?2?x3?3?0成立，故?1

29

,?2,?3线性无关。

?1??1??0??2???????????0, ??1, ??2． 设??3，把?表示成?1, ?2, ?3的线性组合，123?????2?，???1??0??1??0?????????问线性表示是否唯一？

?x1?0x2?2x3?1?解：设x1?1?x2?2?x3?3??即有非齐次线性方程组?0x1?x2?2x3?3。

?x?0x?1x?023?1102线性方程组的系数行列式为012??1?0，故由克拉姆法则方程组有唯一解，

101即?能表示成?1, ?2, ?3的线性组合，且表示唯一。

?1??1??1???????3． 设?1??1?, ?2??2?, ?3??3?，问：

?1??3??t???????（1） 当t为何值时，?1, ?2, ?3线性无关？当t为何值时，?1, ?2, ?3线性相

关？

（2） 当?1, ?2, ?3相关时，将?3表示为?1, ?2的线性组合。

111解：(1) ?1, ?2, ?3线性相关?123?t?5?0?t?5，从而

13t?1, ?2, ?3线性无关?t?5

(2) 当t?5时?3?2?2??1

30

4． 证明：若向量组?1, ?2, （提示：用定义证明） 证明:不妨设?1?0 法一：显然1?1?0?2?, ?s中含有零向量，则此向量组一定线性相关。

?0 ?s?0，即存在不全为零的数使得?1, ?2, , ?s线性组合

为零，故向量组一定线性相关。

法二：由?1?0可知向量组?1线性相关，又??1????1, ?2, 相关。

注意：因为向量组?1, ?2, , ?s?，故向量组一定线性

, ?s中含有零向量，故行列式?1, ?2, , ?s?0，故向量

组一定线性相关。（这样证明是错误的，因为??1, ?2, ） , ?s?不一定是方阵。

5．已知向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关，?1??1??2,?2??2??3，

?3??3??4,?4??4??1，用定义证明：向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。

解：设

k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，由题条件可得

?k1?k4??1??k1?k2??2??k2?k3??3??k3?k4??4?0

1?k1?k4?0?k?k?01?12又?1, ?2, ?3,?4线性无关，故有?方程组系数行列式为

0k?k?0?23?0?k3?k4?0 k2, k,3k4由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k1,才成立，故向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。

00?1101101001?1?0

全为零k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0

31

6．若向量?可由?1, ?2, ,? s线性表出，则表示法唯一的充要条件为

?1, ?2, , ?s 线性无关。

（提示：可考虑用反证法证明） 证明：充分性（?1, ?2, 的表示为

, ?s 线性无关?表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同

k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?由（1）（2）得?k1?l1??1??k2?l2??2?由两个表示不一样有k1?l1,k2?l2,盾。故当?1, ?2, ?ks?s???ls?s??(1) (2)

，

??ks?ls??s?0ks?ls不全为零，这与?1, ?2, , ?s 线性无关矛

, ?s 线性无关时表示法唯一

, ?s 线性无关）若?1, ?2, , ?s 线性相关，则

必要性：（表示法唯一??1, ?2, 存在不全为零的数设为m1,m2,ms有

m1?1?m2?2?又?可由?1, ?2, ?ms?s?0?3?

, ?s线性表出记为

n1?1?n2?2??ns?s??(4)

由（3）（4）可得

?n1?m1??1??n2?m2??2?由m1,m2,??ns?ms??s??(5)

ms不全为零知道（4）（5）是?两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。

故表示法唯一??1, ?2,

, ?s 线性无关

32