线性代数习题参考答案

第一章 行列式

§1 行列式的概念

1． 填空

(1) 排列6427531的逆序数为 ，该排列为 排列。 (2) i = ，j = 时， 排列1274i56j9为偶排列。

(3) n阶行列式由 项的代数和组成，其中每一项为行列式中位于不同行不同列的

n个元素的乘积，若将每一项的各元素所在行标按自然顺序排列，那么列标构

成一个n元排列。若该排列为奇排列，则该项的符号为 号；若为偶排列，该项的符号为 号。

(4) 在6阶行列式中， 含a15a23a32a44a51a66的项的符号为 ，含

a32a43a14a51a66a25的项的符号为 。

2． 用行列式的定义计算下列行列式的值

a11(1) 00a22a320a23

a330解： 该行列式的3!项展开式中，有 项不为零，它们分别为 ，所以行列式的值为 。

00(2)

00an?1,2an20a2,n?1an?1,n?1an,n?1a1na2n

0an1an?1,nann解：该行列式展开式中唯一不可能为0的项是 ，而它的逆序数是 ，故行列式值为 。 3． 证明：在全部n元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明：n元排列共有n!个，设其中奇排列数有n1个，偶排列数为n2个。对于任意奇排

列，交换其任意两个元的位置，就变成偶排列，故一个奇排列与许多偶排列对应，所以有n1 n2，同理得n2 n1，所以n1 n2。

1

4． 若一个n阶行列式中等于0的元素个数比n?n多，则此行列式为0，为什么？

5． n阶行列式中，若负项的个数为偶数，则n至少为多少？

（提示：利用3题的结果）

6． 利用对角线法则计算下列三阶行列式

22（1）10813?4?1

?1

1 （2）a1bb21c c2a2

2

§2 行列式的性质

1． 利用行列式的性质计算系列行列式。

2141 (1)

3?1211232

5062a100 (2)

?1b100?1c1

00?1d?abacae (3) bd?cdde

bfcf?ef3

2． 证明下列恒等式

ax?byay?bz (1) D?ay?bzaz?bxxzyzxzx yaz?bxax?by??a3?b3?yaz?bxax?byay?bz （提示：将行列式按第一列分解为两个行列式之和，再利用性质证明）

a2(2)

b2c2d2

?a?1?2?b?1?2?c?1?2?d?1?2?a?2?2?b?2?2?c?2?2?d?2?2?a?3?2?b?3?2?c?3?2?d?3?2?0

x0(3)

?1x0?100xa200?xn?a1xn?1??an?1x?an ?1x?a10an00an?1an?2(提示：从最后一列起，后列的x倍加到前一列)

4