初中数学相似三角形-难题-易错题（附详解）

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质． 专题： 证明题． 分析： 应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证． 解答： 证明：延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB． 在△EIH中，由于DF∥IH， ∴=． ==， ﹣===1+．① ∵IH=AB，∴从而，﹣在△OED与△OBH中， ∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB， ∴△OED≌△OBH（AAS）． 从而DE=BH=AI， ∴=1．② ﹣=2． 由①，②得 点评： 此题考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的性质的理解和掌握，此题的关键是延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB．这是此题的突破点，也是一个难点，因此属于一道难题． 5．一条直线截△ABC的边BC、CA、AB（或它们的延长线）于点D、E、F． 求证：

．

考点： 三角形的面积． 专题： 证明题．

分析： 连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证． 解答： 证明：如图，连接BE、AD， ∵△BDE与△DCE等高，∴=， ∵△DCE与△ADE等高，∴=， ∵△ADF与△BDF等高，∴=， ∵△AEF与△BEF等高，∴=， ∴=， ∴??=??=1． 点评： 此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比． 6．如图所示．P为△ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

考点： 相似三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质． 专题： 计算题． 分析： 由FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易证四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形，利用平行线分线段成比例定理的推论可得△IHB∽△AFG∽△ABC，于是先计算式子右边的和，易求++==2，从而有++=，=，再结合=，=2，再把DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425代入此式，解即可． 解答： 解：∵FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB， ∴四边形AIPE、四边形BDPF、四边形CGPH均是平行四边形， ∴△IHB∽△AFG∽△ABC， ∴∴=+，+==， ， 又∵DE=PE+PD=AI+FB， AF=AI+FI， BI=IF+FB， ∴DE+AF+BI=2×（AI+IF+FB）=2AB， ∴++==2， ∵DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425， ∴∴++++=++=2， =2， 解得d=306． 点评： 本题考查了相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理的推论、平行四边形的判定和性质． 7．如图所示．梯形ABCD中，AD∥BC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC．AD=12厘米，BC=20厘米．求EF．

考点： 平行线分线段成比例． 分析： 由平行线的性质可得===，得出OE与BC，OF与AD的关系，进而即可求解EF的长． 解答： 解：∵AD∥BC，EF∥BC， ∴又====， ==， ， =，∴OE=BC=，OF=AD=∴EF=OE+OF=15． 点评： 本题主要考查了平行线的性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算问题． 8．已知：P为?ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q点，求证：

．

考点： 相似三角形的判定与性质． 专题： 证明题． 分析： 由于AB=CD，所以将转化为，再由平行线的性质可得=，进而求解即可． 解答： 证明：在平行四边形ABCD中，则AD∥BC，AB∥CD， ∴∴=﹣== ﹣==1． 点评： 本题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定及性质问题，能够熟练掌握． 9．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，MN∥BC，且MN与对角线BD交于O．若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN．

考点： 相似三角形的判定与性质；梯形． 专题： 计算题． 分析： 由平行线分线段成比例可得对应线段的比，再由题中已知条件即可求解线段MN的长． 解答： 解：∵MN∥BC，∴在△ABD中，=，即OM==， 同理ON=∴MN=OM+ON==， ． 点评： 本题主要考查了平行线分线段成比例的性质问题，能够熟练掌握． 10．P为△ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA（如图所示）． 求证：

．

考点： 平行线分线段成比例． 专题： 证明题． 分析： （1）由平行线可得△PIF∽△CAB，得出对应线段成比例，即==，同理得出==，即可证明结论； （2）证明方法与（1）相同． 解答： 证明：（1）∵DE∥AB，IH∥AC，FG∥BC， ∴可得△PIF∽△CAB， ∴同理====， ，