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b5－b1

故d＝＝2，bn＝b1＋(n－1)d＝2n－1，

4

1

综上，数列{an}和{bn}的通项公式分别为an＝n－1，bn＝2n－1.

2bnn－1

(2)∵cn＝＝(2n－1)·2，

an

∴Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1×2＋3×2＋…＋(2n－1)×22Tn＝1×2＋3×2＋…＋(2n－3)×2③－④得－Tn＝1＋2(2＋2＋…＋2

n

n

1

2

1

2

n－1

n

0

1

n－1

，③

＋(2n－1)×2，④

n

n－1

)－(2n－1)·2，

n

即－Tn＝1＋2(2－2)－(2n－1)2＝－(2n－3)2－3， ∴Tn＝(2n－3)·2＋3.

n

12．(16分)如图，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，且DE＝6，AF＝2.

(1)试在线段BD上确定一点M的位置，使得AM∥平面BEF； (2)求二面角A－BE－C的余弦值．

1

【解析】(1)取BE的三等分点K(靠近点B)，过K作KM⊥BD交BD于M，则有KM＝DE

3＝2，由DE⊥平面ABCD，AF∥DE，可知AF⊥平面ABCD，∴AF⊥BD，

∴FA∥KM，且FA＝KM.

所以四边形FAMK为平行四边形，可知AM∥FK?AM∥平面BEF， MKBM1

∵＝＝，∴M为BD的一个三等分点(靠近点B)． EDBD3(2)如图建立空间直角坐标系：

5

→→

则A(3，0，0)，B(3，3，0)，E(0，0，6)，C(0，3，0)，EB＝(3，3，－6)，AB＝(0，→

3，0)，BC＝(－3，0，0)，

设平面AEB的法向量为n＝(x1，y1，1)，

??3x1＋3y1－6＝0，由?可得n＝(2，0，1)． ?3y1＝0，?

设平面BCE的法向量为m＝(x2，y2，1)，

?3x2＋3y2－6＝0，?由?可得m＝(0，2，1)， ?3x＝0?2

因为二面角A－BE－C为钝二面角， 1?2×0＋0×2＋1?可得cos θ＝－?2?＝－5， 2

?2＋1·2＋1?1

所以二面角A－BE－C的余弦值为－.

5

x2y22222

13．(18分)给定椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x＋y＝a＋b为椭圆C的“伴

ab随圆”．已知点A(2，1)是椭圆G：x＋4y＝m上的点．

(1)若过点P(0，10)的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G的伴随圆

2

2

G1所截得的弦长；

(2)椭圆G上的B，C两点满足4k1·k2＝－1(其中k1，k2是直线AB，AC的斜率)，求证：

B，C，O三点共线．

【解析】(1)因为点A(2，1)是椭圆G：x＋4y＝m上的点， ∴2＋4·1＝m，∴m＝8，即椭圆G：＋＝1.

82∴a＝8，b＝2，∴伴随圆G1：x＋y＝10.

当直线l的斜率不存在时，显然不满足l与椭圆G有且只有一个公共点．

当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx＋10与椭圆G：x＋4y＝8联立得(1＋4k)x＋810kx＋32＝0.

6

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x2y2

由直线l与椭圆G有且只有一个公共点得Δ＝(810k)－4·(1＋4k)·32＝0， 解得k＝±1，由对称性取直线l：y＝x＋10，即l：x－y＋10＝0. 圆心到直线l的距离为d＝

|0＋0＋10|

1＋1

＝5，

22

直线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长＝210－5＝25. (2)设直线AB，AC的方程分别为y－1＝k1(x－2)，y－1＝k2(x－2)． 设点B(x1，y1)，C(x2，y2)，

联立y－1＝k1(x－2)与x＋4y＝8，得(1＋4k1)x－(16k1－8k1)x＋16k1－16k1－4＝0， 16k1－16k1－48k1－8k1－2

则2x1＝，得x1＝. 22

1＋4k11＋4k18k2－8k2－2

同理x2＝. 2

1＋4k2

22

2

2

2

2

2

2

2

y1k1（x1－2）＋1－4k21－4k1＋1

斜率kOB＝＝＝2，

x1x18k1－8k1－2

－4k2－4k2＋1

同理kOC＝2. 8k2－8k2－2因为4k1·k2＝－1，

2

所以kOC＝?－1??－1?－4??－4??＋12

－1＋4k1＋4k1?4k1??4k1?

－1?2?－1??8??－8??－2

?4k1??4k1?

＝

2＋8k1－8k1

22

＝kOB.

∴B，O，C三点共线．

备课札记 7

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