2014最新同济版高等数学复习提纲（80课时）

高等数学复习提纲2014

第一章 函数与极限

复习重点：

1. 函数： 函数复合运算， 函数的有界性、单调性、周期性，初等函数（补充反三角函数） 2、求极限

1）四则运算法则 注意：四则运算法则适用的函数个数是有限个；

四则运算法则的条件是充分条件

有理分式函数求极限公式：

?a0mm?1 n?mxxxam?ba0n?a1n???am?1n?n a0xm?a1xm?1???am?1x?am?0xxxx?lim??0m?nlimnn?1 ?bxn?bxn?1???bx?bx??x?bxxxn01n?1n??m?nb?b???b?01n?1nnnn ?xxxx?2）两个重要极限

limsinxsin0?1()x?0x01x101lim(1?x)?lim(1?)x?e((1?0))x?0x??x

3）两个准则

准则一： 若(1)yn?xn?zn?n?N则{xn}有极限,且limxn?an?? (2)limyn?limzn?an??n??

准则二：单调有界数列必有极限

单调递增有上界的数列其极限为最小的上界（上确界） 单调递减有下界的数列其极限为最大的下界（下确界） 4）无穷小量

a.无穷小量的定义，注意其是变量，谈及无穷小量时一定要注明自变量的变化趋势。唯一的例外是0永远是无穷小量；

b.掌握何为高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，等价无穷小； c.利用无穷小量求极限

无穷小量与有界函数的乘积是无穷小量

等价无穷小量替代求极限 注意：下面给出关系式是在x?0时才成立 等价无穷小量替代求极限只在积、商时成立，加减时不行

1sinx~x　　　　　1?cosx~x2

2 x　arcsinx~x　　e?1~x

　tanx~x　　　ax?1~xlna

xn　ln(1?x)~x　　　1?x?1~ n3、连续性和间断点 1）连续定义

?x?0lim?y?0,limf(x)?f(x0)

x?x0 1

要求会用定义讨论分段函数分段点的连续性

2）间断点

第Ⅰ类间断点：f(x0?0)，f(x0?0)?,即左右极限均存在 01f(x0?0)?f(x0?0)跳跃间断点 0? 2f(x0?0)?f(x0?0)　而f(x0)无定义??可去间断点0 3limf(x)?f(x0)?x?x0?

第Ⅱ类间断点：f(x0?0)，f(x0?0)至少有一个不?

间断点的疑似点：使函数没有意义的点和分段函数分段点

要求：判断函数的间断点，若是第一类的要写出是跳跃还是可去，第二类只需写出是第二类间断点即可。

4、闭区间上连续函数的性质

1）最值定理：闭区间上连续函数的最大值和最小值一定取得到。 注意：最值定理的条件是充分条件，不满足结论不一定成立。

2）零点定理：f(x)在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，则至少存在一点x0?(a,b)，使得f(x0)?0。 要求：和罗尔中值定理结合在一起判断根的唯一性。

第二章 导数与微分

复习重点：

1、导数的定义f?(x0)?limf(x)?f(x0)?y ?lim?x?0?xx?x0x?x0要求，会利用导数的定义判断分段函数分段点处的可导性，以及利用导数定义求极限； 2、导数的几何意义 表示曲线f(x)在x?x0处切线的斜率

要求会求切线方程法线方程；、切线方程： y?y0?f??x0??x?x0?

法线方程：

f??x0??0，y?y0??1?x?x0? f??x0?3、微分的定义 dy?f?(x)dx

4、一元微分学中，可导、连续、可微三者之间的关系

可导必可微，可微必可导；可导一定连续，连续不一定可导 5、导数的计算

a.复合函数求导 [f(g(x))]??f?(g(x))g?(x) b.高阶导数 常见高阶导数公式如下： x(n)xy?ey?e

ny(n)?n!,y(n?1)?0 y?x n?(n)y?sinxy?sin(x?

y?cosxy?11?xy(n)y(n)2n??cos(x?)2(?1)nn!?(1?x)n?1)2

c.隐函数求导

隐函数求导方法两边同时对x求导，注意y是关于x的函数； 隐函数求导的结果还是隐函数；

隐函数高阶求导时一阶求导结果要注意回带，以简化运算。 d.对数求导法 适用于幂指函数、无理分式函数 e.参数方程求导 参数方程所表示函数??x???t?dy???t??的导数。 ,dx???t??y???t????t0??x?x0? 切线方程：y?y?0???t0?d2ydy?dy?/dt??注意二阶导数 2dxdx/dtdx6、求微分 dy?f?(x)dx注意不要缺失dx

第三章 中值定理和导数的应用

1、中值定理

1）罗尔定理 若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则至少存在一点x0?(a,b)，使得

f?(x0)?0。

注意：a)罗尔定理的条件是充分的，不满足条件结论不一定成立；

b)罗尔定理的结论可理解为若f(x)满足罗尔定理三个条件，则导函数在开区间(a,b)至

少有一根；强调了导函数根的存在性，但没指出到底有几个根；

c)从罗尔定理可推出，若f(x)有n个根+连续+可导，则导函数至少有n-1个根；注意

反之不成立；

d)若导函数没有根，则f(x)至多一个根。 2）拉格朗日定理

若f(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，则至少存在一点x0?(a,b)，使得f?(x0)?应用于不等式的证明和证明某个函数是一个常函数。 3）柯西定理

若f(x)，F(x)满足[a,b]连续，(a,b)可导，且x?(a,b),F?(x)?0则至少存在一点x0?(a,b)，

f(b)?f(a)。

b?a 3

使得

f?(x0)f(b)?f(a)。 ??F(x0)F(b)?F(a)应用于等式的证明。

2、罗比达法则

定理?1?若limf?x??0limF?x??0x?ax?a

?2?在a,?f??x?F??x?都存在且F??x??0

f??x?f?x?f??x??3?lim?存在或??则lim?lim

x?aF??x?x?aF?x?x?aF??x?

??0?,???,0??,00,1?,?0等不定型极限 0?x?sinx1?cosx?lim注意：lim极限不存在，此时罗比达法则不适用。

x??x??x1罗比达法则应用于解决,3、利用导数判断函数的单调性，凹凸性，极值和拐点，（10分）会作图

1）单调性的判定

设函数y?f（x）在?a,b?连续，在（a,b）可导，

a）如果在（a,b）内f?（x）?0，那么f（x）在?a,b?上?

b）如果在（?x）a,b）内f（?0，那么f（x）在?a,b?上? 注： a、该条件为函数严格单调的充分条件

b、单调区间的分界点为：一阶导函数为0的点和一阶不可导点 要求：会利用一阶导函数判断函数的单调区间； 会利用单调性证明不等式；

会利用严格单调性证明根的唯一性。 2）凹凸性的判定

定理：若f(x)在[a,b]上连续，(a,b)上二阶可导，在(a,b)内若f??(x)?0，则f(x)在[a,b]是凹

的；在(a,b)内若f??(x)?0，则f(x)在[a,b]是凸的。

3）拐点：凹凸区间的分界点

拐点的疑似点：二阶导函数为0的点和二阶不可导点 判定定理1：若f(x)在x0处可导，在U(x0)内二阶可导，则

当x?x0与x?x0时，f??(x)变号，(x0,f(x0)就是拐点； 当x?x0与x?x0时，f??(x)不变号，(x0,f(x0)就不是拐点； 4）极值

极大值：设f(x)在(a,b)有定义，存在x0?(a,b)，对x?U(x0)，若f(x0)?f(x)，则称f(x0)0 4