学×思面授班初二数学秋季讲义 第13讲.几何综合.尖子班.学生版

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名校期末试题点拨——几何部分

题型一：全等三角形与轴对称

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全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。判断三角形全等的公理有SAS、ASA、AAS、SSS和HL（直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。 一、常见辅助线的作法有以下几种：

1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；

2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；

3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；

4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；

5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 二、常见模型

1.最值问题：“将军饮马”模型；

2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。 三、尺规作图

部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。

典题精练

【例1】 ⑴如下左图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，

∠1=95°，则∠2的度数为（ ）

A．24° B．25° C．30° D．35° C'

A2B'1EBCF 第一次操作第二次操作⑵长为20，宽为a的矩形纸片（10＜a＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n=3时，a的值为 ．

【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD称轴l上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，

则满足条件的点P有（ ）．

A．1个 B．3个 C．5个 D．6个

⑵改为：在长方形ABCD ?AB?BC且AB?2BC?的对称轴上找点P，使得△PAB、△PBC均为等腰三角形，则满足条件的点P有 个

⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P、A、B为格点上的点，A、B的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P点有 种不同的位置？ 【解析】12种，如下图所示：

【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找

一点P，使BP+PE的值最小；

⑵ 如图2，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，在AC上找一点P，使PB+PE的值最小；

⑶ 如图3，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；

⑷ 如图4，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．

AEBPD图1CABEPD图2COPACBAPB图4CD图3

【例4】 如图，AD=BC，DF=CA，∠C=∠D，AD交BC于点H，AE⊥BC于点E，点F在BC

上．

⑴ 若AN是△AEC的角平分线，求证：S△AEN:S△ACN?AE:AC；

⑵ 当∠B=∠BAD+12°时，求∠B的度数.

AAMBHENFCBHEFCBHENFCANDDD