2014年全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角中的秘密(课堂实录)

1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密

一：引经据典，步入新课

师：(展示图片) 今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。

什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。

今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。

大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。

杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。

那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。 二：复习回顾，总结已知

师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。

学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。 贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。用今

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天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合

r?1数。从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n行第r个数可以写成an,r?Cn?1：

这对我们今天的研究非常重要。

师：还有吗？

学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。

师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：

r?1rrCn?1?Cn?1?Cn，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。

还有吗？

学生1：没了。

师：那我请你的同桌来补充一下。

学生2：杨辉三角每一行数字之和是2的n次。

师：很好，杨辉三角每一行之和为2的n次用组合数来表示就是：

012rn?1nCn?Cn?Cn...?Cn...?Cn?Cn?2n rn?r学生2：并且杨辉三角是左右对称的：Cn ?Cn师：以上几个性质，是我们已经知道的。接下来我们就要研究一下杨辉三角的其他性质了。

三：小组合作，共探新知

师：当然，在研究之前，我们首先需要来一起探讨一下，我们该如何去研究杨辉三角呢？ 苏轼有一首诗对我很受启发。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。”这是苏轼的《题西林壁》。这首诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物。我们研究杨辉三角时，是不是也可以从这些“横看”、“侧看”、“远看（整体）”、“近看（局部）”这几个角度出发呢？下面，就让我们4人为一组，从这四个角度出发，用数字格式的杨辉三角观察规律，用组合数格式的杨辉三角总结规律，并加以证明。 11 1101C1 C11 2 1012C2 C2 C21 3 3 1 013C3 C3 C32 C31 4 6 4 101234C4 C4 C4 C4 C41 5 10 10 5 10135C5 C5 C52 C5 C54 C51 6 15 20 15 6 10123456C6 C6 C6 C6 C6 C6 C61 7 21 35 35 21 7 1............1 8 28 56 70 56 28 8 1012r?1rn?20Cn?1 Cn-1 Cn-1 ... Cn-1 Cn-1 ... Cn-1 Cn?1....................012rn?10Cn Cn Cn ... Cn ... Cn Cn （接下来为6分钟左右的学生探讨） 四：小组展示，分享所得 第一组: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

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生3:我们组发现：3+1+6+4+1=15,4+6+5+10+10=35，将梯形中5个数相加就是下面隔行的数。

师：你们是如何发现的呢？

生3:根据我们所学杨辉三角的每一个数都是上面两个数之和，那么是不是可以进一步向上推导，比如15=10+5=（6+4）+（4+1）=6+4+1+（3+1），就得到了这个结论。

师：从原有的性质中挖掘出新的内容，非常好！当然，如果我们能用组合数来表示这个结

232344论更好。以刚才的结论为例C3 ?C3?C4?C4?C4?C6rr?1rr?1r?2r?2写成一般情形Cn?Cn?Cn?1?Cn?1?Cn?1?Cn?3

第二组:

生4：我们组发现： 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15

每一斜行前n个数加起来都是下面一行的第n个数。 师：你们是如何发现这个结论的？

生4：我们是从求和的角度来研究的，既然横的一行相加存在规律，那么斜的一行加加看是不是也可以得到一些结论？

师：你能用组合数来表示么？简单点，第二斜行相加用组合数来表示一下。

111112生4：C1?C2?C3?C4?...Cn?C?1n

师：那么推导到一般情形呢？

rrrrr?1C?C?C???C?C(n?r) rr?1r?2n?1n生4:

师：非常好！

第三组:

生5:我们发现单纯用数字的角度去看的话，每一行都是11的次数。

第一行11的0次，第二行11的1次，第三行121是11的2次，我们验算了一下，11的3次正好是第四行1331，因此我们猜测将杨辉三角第n行数字依次写下来是11的n-1次。

师：11的1次为11，11的2次121， 11的3次1331好像确实是这样。 那么我们一起来帮他们验算一下11的4次？ 生：14641

师：那么11的5次是多少呢？我们来一起算一下。 生：11的5次为161051。

师：太可惜了，这是一个多么美好的结论啊，问题出在哪儿呢？我们一起来看一下，同学们，我们11的4次是如何计算的啊？总不会是11×11×11×11得到的吧？

很显然不是，我们是通过1331×11计算得到的。从这里我们会发现，14641其实是两个1331错位相加得到的。那么11的5次是不是也是由两个14641错位相加得到？而在这个过程中，出现了一个问题，大家发现了没有？

生：进位了！

师：非常好，这里产生了进位，于是就出现了问题。所以我们是不是只需要把这个结论改一改，将杨辉三角中每一行数字错一位叠加所得到的结果是11的若干次。

第四组：

生6:既然杨辉三角每一行的和存在规律，那么每一行的平方和是不是也有规律呢？通过计算，第二行的平方和为2，第三行的平方和为6，第四行的平方和为20，这些数都能在杨辉三角中找到。我们就得到结论：杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数。

师：能用组合数来表示吗？

生6：(Cn)?(Cn)?...?(Cn)?C2n

0212n2n - 3 -

师：又是一个非常好的结论！通过前面几行验证，我们发现确实是这样。那么，这个结论是否正确呢？我们该如何去证明呢？由于时间的关系，我们这里不再做展开。希望大家在课后做进一步的研究与探讨。

第五组：

生7：我们组是从斜的角度去看：杨辉三角中斜的每一行都是一个数列，第一行是一个常数数列，第二行是等差数列，第三行也是一个数列，我能写出他的通项公式。

师：这个结论看上去简单，却是一个非常好的结论！通过观察，我们发现每一斜行都是一个特殊的数列。

第六组：

生8：将杨辉三角30°角斜行加起来得到数列1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 、144 …每一项都是前两项之和。

师：是如何发现的？

生8：通过书上的提示得到的。

师：查找资料也是一种非常好的研究方式。 五：教师补充，再得新知

那么我这边还有一些有趣的结论。 其实我们在研究过程中，不要被自己的惯有思维所约束。我们为什么一定要把杨辉三角放成等边三角的形式呢？有些人就不这么认为，他把杨辉三角摆放成直角三角，也得到了一些有趣的结论。再比如，我们在看数的时候，为什么一定要从数值的角度去研究呢？是不是也可以从正负的角度或者奇偶的角度去研究呢？当我将杨辉三角中的奇数涂黑。大家看，是不是会得到一个有趣的图形？其中第2的k次行均为奇数，奇数行的下面一行除两端之外均为偶数。

并且，我将杨辉三角中的奇数用线段连接起来，就可以得到一个有趣的三角形——歇尔宾斯基三角。这是一个自相似图形，对歇尔宾斯基三角进行拓展：谢尔宾斯基塔（三棱锥）——谢尔宾斯基地毯（正方形）——谢尔宾斯基海绵（正方体）。我们就诞生了一门新的数学分支——分形数学。

分形数学与我们的生活息息相关，比如说股票的预测、气象预报等。并且有许多优美的图案，这些图案并不是出自艺术家的手笔，而是数学的杰作！

这就是数学之美，数学中充满了美！再比如刚才我们得到的斐波那契数列，它也有许多优美的内容。关于斐波那契数列，我们会在下一堂课中专门来介绍它。 六、探究小结,盘点新知

师：接下来，我们来总结一下。通过这节课，你收获了些什么？

学生9：通过这节课的研究，我们发现了杨辉三角的很多秘密。比如，杨辉三角每一斜行都是一个特殊的数列（高阶等差数列），并且这些数列的和又是下一行中的数。杨辉三角每一横行的平方和也是杨辉三角中的数。通过30°的斜行求和，还可以得到斐波那契数列。

师：总结的很好！当然，我们这节课不仅仅是研究杨辉三角，我们更需要通过对杨辉三角的研究，学会对数阵的研究方式。那么通过这节课，你们对数阵的研究又有哪些心得呢？ 学生10：从杨辉三角的研究中，我发现数阵可以从横的、斜的、竖的这几个角度去看，也可以局部看、整体看。

师：很好！这是我们这节课关于数阵研究的心得，那么还有没有同学有不同的想法呢？ 学生11：我发现，数阵其实跟数列很相似。只不过一个是一维的，另一个是二维的。而杨辉三角的这些性质中，近看的第一个就是通项的概念，近看的第二个与第三个是递推的概念，而横看中的1和3以及侧看中的1都是从求和角度入手的。所以我就想，我们在研究数阵的时候，是不是可以借鉴数列的研究方法，从通项、递推、求和这几方面入手。

师：这是一个意外之喜！我们发现可以从横看、侧看、竖看这几个角度去研究数阵。既然数

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