信号与系统第一、二、三章自测题解答

第一章自测题答案

1．已知f(t)?(t2?4)u(t)，则f''(t)=2u(t)?4δ'(t) 2．?(t2?2t)??(?t?1)dt????????(t2?2t)??(t?1)dt?3。

3．?e?（t?t0）dt????j?tejωto。

4．试画出下列各函数式表示的信号图形： （1）f1(t)?u(t0?t), t0?0

u(t0-t)t0t

（2）f2(t)?cos3?t[u(t)?u(t?4)]

在0到4区间内的6个周期的余弦波，余弦波的周期为2/3。 （3）f3(t)?u[sin?t]

1

5．已知f(t)的波形如图1.1所示，求f(2-t)与f(6-2t)的表达式，并画出波形。

f(5-3t) f(t)

2 2

1 1 -1 0 1 1 2 t 0 2 t

图1.2 图1.1

答：

f(2-t) f(6-2t)22

1 1

012-2-10123t

t0123t函数表达式：f(2-t) = [u(t)-u(t-1)]+2[u(t-1)-u(t-2)] f(6-2t)=[u(t-2)-u(t-2.5)]+2[u(t-2.5)-u(t-3)]

1

6．信号f(5-3t)的波形如图1.2所示，试画出f(t)的波形。

答：f(5-3t)左移5/3得到f(-3t)，然后再扩展3倍得到f(-t)，最后反褶可得到f(t)

f(t)2

1

-204628t

7．对于下述的系统，输入为e(t), 输出为r(t)，T[e(t)]表示系统对e(t)的响应，试判定下述系统是否为： （1） 线性系统；（2）非时变系统；（3）因果系统；（4）稳定系统：

(a) r(t)=T[e(t)]=e(t-2)线性、非时变、因果、稳定系统 (b) r(t)=T[e(t)]=e(-t)线性、时变、非因果、稳定系统 (c) r(t)=T[e(t)]=e(t)cost线性、时变、因果、稳定系统 (d) r(t)=T[e(t)]=ae(t)非线性、时不变、因果、稳定系统

9. 一线性非时变系统，当输入为单位阶跃信号u(t)时，输出r(t)为 r(t)?e?tu(t)?u(?1?t)，试求该系统对图1.3所示输入e(t)的响应。

e(t) 1 0 1 图1.3 2 t

答： e(t)?u(t?1)?u(t?2)

因为是线性时不变系统，输入u(t?1)和u(t?2)输出分别为

r1(t)?r(t?1)?e?(t?1)u(t?1)?u(?1?(t?1))?e?t?1u(t?1)?u(?t) r2(t)?r(t?2)?e?(t?2)u(t?2)?u(?1?(t?2))?e?t?2u(t?2)?u(?t?1) 所以 r(t)?r1(t)?r2(t)?e?e?tu(t?1)?e2e?tu(t?2)?[u(t)?u(t?1)]

10．有一线性时不变系统，当激励e1(t)?u(t)时，响应r1(t)?e?atu(t)，试求当激

励e2(t)??(t)时，响应r2(t)的表示式。（假定起始时刻系统无储能。） 答：根据线性时不变系统的微分特性

因为?(t)?dr(t)du(t)，所以r2(t)?1??ae?atu(t)?e?at?(t)??(t)?ae?atu(t) dtdt 2

第二章自测题答案

1．若描述某线性非时变系统的微分方程为

d2dd 2r(t)?3r(t)?2r(t)?e(t)?2e(t)

dtdtdt且e(t)?u(t),r(0?)?1,r'(0?)?1试求系统的完全响应，并指出其零输入响应、零状态响应、自由响应与强迫响应。

解答：

1）求完全响应：

系统的特征方程：a2?3a?2?0 特征根： a1??1,a2??2 齐次解： rh(t)?A1e?t?A2e?2tt?0＋

特解： 方程右边自由项为2，令特解rp(t)?B

代入方程：2B=2，所以特解rp(t)?1

完全响应： r(t)?A1e?t?A2e?2t?1 t?0+

确定系数A1、A2：

将e(t)?u(t)代入原微分方程得：

d2dr(t)?3r(t)?2r(t)??(t)?2u(t)

dtdt2根据冲激函数配平法，在0??t?0?时，有：

d2r(t)?a?(t)?b?u(t) 2dt

dr(t)?a?u(t) dtr(t)?at?u(t)

代入原微分方程得： a=1 b+3a=2 解得：a=1,b=-1

3

r'(0＋)?r'(0?)?1?2r(0?)?r(0?)?1

代入完全响应得解得到：1=A1+A2+1; 2=-A1-2A2

所以 A1＝2，A2＝－2

所以完全响应：r(t)?2e?t?2e?2t?1，t?0＋ 其中自由响应为：2e?t?2e?2t，t?0＋ 强迫响应为：1，t?0＋

2）零输入响应：零输入响应的形式为齐次解，设为

rzi(t)?B1e?t?B2e?2t

将初始状态：

t?0＋

r'(0＋)?r'(0?)?1r(0?)?r(0?)?1代入齐次解，得

B1 + B2 = 1；- B1 – 2B2 = 1 所以：B1 = 3 B2 = -2

因而零输入响应：rzi(t)?3e?t－2e?2tt?0＋

dr(t)de(t)?5r(t)?2，试求系dtdt3）零状态响应：

rzs(t)?r(t)?rzi(t)??e?1t?0??t2．若激励为e(t)、响应为r(t)的系统的微分方程为统的冲激响应。

答：将e(t)??(t)代入微分方程得

dh(t)d?(t)?5h(t)?2 （1） dtdt特征方程为：a + 5 = 0，特征根：a = -5

所以齐次解形式为：h(t)?Ae?5t，t?0? （2） 利用冲激函数匹配法确定h(0?)，由于方程（1）右端?(t)的最高阶导数为

h'(t)?a?'(t)?b?(t)?c?u(t)

h(t)?a?(t)?b?u(t)?'(t)，所以设：

代入方程（1）有：a?'(t)?b?(t)?c?u(t)?5[a?(t)?b?u(t)]?2?'(t) 得 a = 2 , b = -10。

从而 h(0?)?h(0?)?b??10，代入齐次解（2）式得 A = -10。

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