2019年全国卷Ⅲ高考压轴卷数学理科试题(含解析)

由辅助角公式得BD2?42sin??????5，∴BD4?42?5， 即BD4?9，BD2?3，则BD?3（sin??（2）∵0?x?320，c?时取等号）． 53???5?，∴??2x??，

6662??????5???令??2x??得0?x?，令?2x??得?x?，

662266332???????∴f?x?的增区间为?0,?，减区间为?,?．

?3??32????????∵f?x?在区间?0,?上单调递增，在区间上?,?上单调递减，

?3??32?11???1???又∵f?0???，f???，∴f?x?min?f?0???，f?x?max?f???1．

22?2?2?3?18．（本题满分12分） 【答案】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75；（2）

1213；（3）． 1404【解析】（1）众数：4.6和4.7；中位数：4.75．

（2）设Ai表示所取3人中有i个人是“好视力”，至多有1人是“好视力”记为事件A， 则P?A??P?A0??P?A1??3C123C16?2C14C123C16?121． 140（3）一个人是“好视力”的概率为

31，?的可能取值为0，1，2，3． 42271?3?27?3?P???0?????????，P???1??C1， 34644464????1?1?39?1?P???2??????，P???3?????，

64?4?464?4??的分布列为

2727913E????0??1??2??3??．

64646464419．（本题满分? 0 1 2 2C3233 12分） 明（2）??

【答案】（1）见证【解析】（1）取PCP 27 6427 649 641 642 3

中点K，连接

MK，KD，

因为M为PB的中点，所以MK//DC且MK?1BC?AD， 2所以四边形AMKD为平行四边形，所以AM//DK， 又因为DK?平面PDC，AM?平面PDC， 所以AM//平面PCD.

（2）因为M为PB的中点，设PM?MB?x， 在?PAB中，∵?PMA??AMB??，设?PMA??，

则?AMB????，所以cos?PMA?cos?AMB?0，

PM2?AM2?PA2BM2?AM2?AB2??0， 由余弦定理得

2PM?AM2BM?AMx2?2?4x2?2?4??0，所以x?2，则PB?22，所以PA2?AB2?PB2，即

4x4x所以PA?AB，

∵PA?AD，AP?AB且AB，且AD?A，所以PA?平面ABCD?BAD??ABC?90，以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则

A?0,0,0?，D?1,0,0?，B?0,2,0?，C?2,2,0?，P?0,0,2?，M?0,1,1?，

因为点N是线段CD上一点，可设DN??DC???1,2,0?，

??AN?AD?DN??1,0,0????1,2,0???1??,2?,0?，又面PAB的法向量???MN?AN?AM??1??,2?,0???0,1,1???1??,2??1,?1?为

?1,0,0?，设

MN与平面

PAB?所成角为

?，则

sin???1??,2??1,?1???1,0,0?22?1?????2??1??115?12?1??10??1???1???2?1??5???2?21??35??1???21??2???

110??13?7?110?????1??5?52，

所以当

132?时，即5?3?3?，??时，sin?取得最大值. 1??532

. 3

所以MN与平面PAB所称的角最大时??20．（本题满分12分）

x215?y2?1（2）【答案】（1）

3630x2?y2?1的焦点坐标为?6,0，离心率为【解析】（1）双曲线.

55??x2x2y22?y?1的焦点是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的顶点， 因为双曲线5aba2?b230?且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a?6，且，解得b?1. a6x2?y2?1. 故椭圆C的方程为6（2）因为MN?43?2，所以直线MN的斜率存在. 3因为直线MN在y轴上的截距为m，所以可设直线MN的方程为y?kx?m.

x2?y2?1得?1?6k2?x2?12kmx?6?m2?1??0. 代入椭圆方程6因为???12km??241?6k22???m2?1??24?1?6k2?m2??0，所以m2?1?6k2.

6?m2?1??12km设M?x1,y1?，根据根与系数的关系得x1?x2?，x1x2?N?x2,y2?，21?6k1?6k2则

MN?1?k2x1?x2?1?k2?1?k2?x1?x2?2?4x1x222?12km?24?m?1??. ??2?1?6k2?1?6k?2212km?24?m?1?43432???因为MN?，即1?k??.整理得 2?21?6k33?1?6k??18k4?39k2?7. m?9?1?k2?2令k?1?t?1，则k?t?1.

22?18t2?75t?501?50??75?2?305?所以m??. ??75??18t????9t939?t???2等号成立的条件是t?5252222，此时k?，m?满足m?1?6k，符合题意.故m的333最大值为15. 321．（本题满分12分） 【答案】（1）e（2）???1?21?,??? 4e2?【解析】（1）函数f?x?的定义域为?0,1??1,???，因为f?x??x?ax?b，所以lnxf'?x??lnx?1?a. ln2x所以函数f?x?在点e,f?e?处的切线方程为y?e?ae?b??ax?e，即

??y??ax?e?. b已知函数f?x?在点e,f?e?处的切线方程为y??ax?2e，比较求得b?e.所以实数b的值为e.

（2）由f?x0??2??e,e??上有解.

??x1111在?e，即0?ax0?e??e.所以问题转化为a??lnx044lnx4x令h?x??112?，x???e,e??，则 lnx4xlnx?2xlnx?2x11ln2x?4xh'?x??2??. ?222224xxlnx4xlnx4xlnx2?令p?x??lnx?2x，所以当x??e,e??时，有p'?x??????111?x???0. xxx2?所以函数p?x?在区间?e,e??上单调递减，所以p?x??p?e??lne?2e?0. 2?所以h'?x??0，即h?x?在区间?e,e??上单调递减.所以

h??x??h?21e?2len1?2e4?1?21?12e4. ?2所以实数a的取值范围为??1?,???. 4e2?请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．（本题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

x2y2【答案】（1）C1：（2）?3,4?． ??1，C2：x?1；

43x2y2【解析】（1）曲线C1的普通方程为：??1，

43??k?，k?Z时，曲线C2的普通方程为：y?xtan??tan?， 2?当???k?，k?Z时，曲线C2的普通方程为：x?1；

2（或曲线C2：xsin??ycos??sin??0） 当??22?x?1?tcos?xy?t为参数?代入C1：??1化简整理得： （2）将C2：?y?tsin??43?sin??3?t22?6tcos??9?0，

?6cos??9tt? ，12sin2??3sin2??3设A，B对应的参数分别为t1，t2，t1?t2?22则??36cos??36sin??3?144?0恒成立，

??