2018年广东省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)

21．（12分）已知函数f（x）=﹣x+alnx． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：

＜a﹣2．

【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值． 【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f′（x）=﹣设g（x）=x2﹣ax+1，

当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当a＞0时，判别式△=a2﹣4，

①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，

②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x

（0，

）

）

f′（x） f（x）

﹣ 递减

0

﹣1+=﹣，

（， （，

+∞）

+ 递增

0

﹣ 递减

综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数， 当a＞2时，在（0，

），和（

，+∞）上是减函数，

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则（，）上是增函数．

（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1， 则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+﹣lnx2）， 则

=﹣2+

，

）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1

则问题转为证明

即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2， 则lnx1﹣ln

＞x1﹣

， ，

＜1即可，

即lnx1+lnx1＞x1﹣即证2lnx1＞x1﹣

在（0，1）上恒成立，

设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0， 求导得h′（x）=﹣1﹣

=﹣

=﹣

＜0，

则h（x）在（0，1）上单调递减， ∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0， 故2lnx＞x﹣， 则

＜a﹣2成立．

（2）另解：注意到f（）=x﹣﹣alnx=﹣f（x）， 即f（x）+f（）=0，

由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1=可得f（x2）+f（

）=0，即f（x1）+f（x2）=0，

，

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要证

即证2alnx2﹣ax2+

＜a﹣2，只要证＜0，（x2＞1），

＜a﹣2，

构造函数h（x）=2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）=∴h（x）在（1，+∞）上单调递减， ∴h（x）＜h（1）=0，

∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+即

＜a﹣2成立．

≤0，

＜0，（x2＞1）成立．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y=k|x|+2．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程． 【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．

（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果． 【解答】解：（1）曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0． 转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0， 转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线C1的方程为y=k|x|+2，则：该直线关于y轴对称，且恒过定点（0，2）．

由于该直线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点． 所以：必有一直线相切，一直线相交． 则：圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2．

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故：解得：k=

，或

或0，（0舍去）或k=或0

与曲线C2没有公共点．

．

经检验，直线故C1的方程为：

[选修4-5：不等式选讲]（10分） 23．已知f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；

（2）若x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围． 【考点】R5：绝对值不等式的解法．

【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，

（2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即0＜ax＜2，转化为a＜，且a＞0，即可求出a的范围．

【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|=，

由f（x）＞1， ∴

解得x＞，

故不等式f（x）＞1的解集为（，+∞）， （2）当x∈（0，1）时不等式f（x）＞x成立， ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0， 即|ax﹣1|＜1， ∴﹣1＜ax﹣1＜1， ∴0＜ax＜2，

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或，