2018年广东省高考数学试卷(理科)(全国新课标ⅰ)

此时正六边形的边长，

=

．

α截此正方体所得截面最大值为：6×故选：A．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为 6 ．

【考点】7C：简单线性规划．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=3x+2y得y=﹣x+z， 平移直线y=﹣x+z，

由图象知当直线y=﹣x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，

最大值为z=3×2=6， 故答案为：6

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14．（5分）记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn=2an+1，则S6= ﹣63 ． 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．

【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列，再根据求和公式计算即可．

【解答】解：Sn为数列{an}的前n项和，Sn=2an+1，① 当n=1时，a1=2a1+1，解得a1=﹣1， 当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②， 由①﹣②可得an=2an﹣2an﹣1， ∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1为首项，以2为公比的等比数列， ∴S6=

故答案为：﹣63

15．（5分）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有 16 种．（用数字填写答案） 【考点】D9：排列、组合及简单计数问题． 【分析】方法一：直接法，分类即可求出，

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=﹣63，

方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．

【解答】解：方法一：直接法，1女2男，有C21C42=12，2女1男，有C22C41=4 根据分类计数原理可得，共有12+4=16种， 方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16种， 故答案为：16

16．（5分）已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 【考点】6E：利用导数研究函数的最值；HW：三角函数的最值．

【分析】由题意可得T=2π是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在[0，2π）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

【解答】解：由题意可得T=2π是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期， 故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在[0，2π）上的值域， 先来求该函数在[0，2π）上的极值点， 求导数可得f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1）， 令f′（x）=0可解得cosx=或cosx=﹣1， 可得此时x=

，π或

；

，π或

和边界点x=0中取到， ）=﹣

，f（0）=0，

．

∴y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=计算可得f（

）=

，f（π）=0，f（ ，

∴函数的最小值为﹣故答案为：

．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（12分）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． （1）求cos∠ADB；

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（2）若DC=2，求BC．

【考点】HT：三角形中的几何计算． 【分析】（1）由正弦定理得出cos∠ADB；

（2）由∠ADC=90°，得cos∠BDC=sin∠ADB=，再由DC=2

，利用余弦定理

=

，求出sin∠ADB=

，由此能求

能求出BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5． ∴由正弦定理得：=，即

=

，

∴sin∠ADB=

=

，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A， ∴cos∠ADB=

=

．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，

∵DC=2，

∴BC=

=

=5．

18．（12分）如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF． （1）证明：平面PEF⊥平面ABFD； （2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．

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DF