2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题7 选考部分第1部分 专题7 第1讲

第一部分 专题7 第1讲

题型 1.极坐标与曲线的极坐标方程 2.参数方程的有关问题 3.极坐标方程与参数方程的综合应用 对应题号 2,3 1,5 4,6,7

基础热身(建议用时：40分钟)

x＝－8＋t，??

1．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为?(t为参数)，曲线t

y＝??2

?x＝2s2，

C的参数方程为?(s为参数)．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最

?y＝22s

小值．

x＝－8＋t，??

解析 由?消去t得l的普通方程为x－2y＋8＝0. t

y＝??2因为点P在曲线C上，设点P(2s2,22s)，

|2s2－42s＋8|2?s－2?2＋4

则点P到直线l的距离d＝＝，

55所以当s＝2时，d有最小值

445＝. 55

2．以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐2

标方程为ρ＝.

1－sin θ

(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程． 解析 (1)因为ρ＝x2＋y2，ρsin θ＝y，ρ＝坐标方程为x2＝4y＋4.

(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)， 根据题意，不妨设P(θ0，ρ0)，则Q(θ0＋π，ρ1)， 22

且ρ0＝3ρ1，即＝3·，

1－sin θ01－sin?θ0＋π?π5π

解得θ0＝或θ0＝. 66

π5π

所以直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．

66

π

3．(2019·广东广州调研)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝23cos θ＋2sin θ，直线l1：θ＝

6π

(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．

3

(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；

(2)若直线l1与曲线C交于O，A两点，直线l2与曲线C交于O，B两点，求△AOB的面积．

解析 (1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝3

x，直线l2的直角坐标方程为y＝3x. 3

2

可化为ρ－ρsin θ＝2，所以曲线的直角

1－sin θ

由ρ＝23cos θ＋2sin θ得ρ2＝23ρcos θ＋2ρsin θ， 因为ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y， 所以(x－3)2＋(y－1)2＝4，

?x＝3＋2cos α，

所以曲线C的参数方程为?(α为参数)．

?y＝1＋2sin α

π??θ＝6，

(2)联立?所以|OA|＝4.

??ρ＝23cos θ＋2sin θ，

π111

同理，|OB|＝23.又∠AOB＝，所以S△AOB＝|OA|·|OB|sin∠AOB＝×4×23×＝23，

6222即△AOB的面积为23.

??x＝t，

4．(2019·河南洛阳模拟)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(t为参数，

?y＝m＋t?

m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝

3

(0≤θ≤π)．

3－2cos2θ

(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为22，求m的值． 解析 (1)由曲线C1的参数方程消去参数t，可得C1的普通方程为x－y＋m＝0. 由曲线C2的极坐标方程得3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]， x22

所以曲线C2的直角坐标方程为＋y＝1(0≤y≤1)．

3

(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为(3cos α，sin α)，α∈[0，π]，则点P到曲线C1的距

离d＝

?2cos?α＋π?＋m?

?6??|3cos α－sin α＋m|?

2

＝

2

ππ7π?

，，所以.因为α∈[0，π]，所以α＋∈?6?66?

ππ3α＋?∈?－1，?，2cos?α＋?∈[－2，3]．因为点P到曲线C1的最小距离为22， cos??6???6?2?

所以若m＋3＜0，则m＋3＝－4，即m＝－4－3； 若m－2＞0，则m－2＝4，即m＝6；

若m－2≤0，m＋3≥0，即－3≤m≤2时，dmin＝0，不合题意，舍去．综上，m＝－4－3或m＝6.

5．(2019·河北石家庄模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为x2＋y2＝4，直线

?x＝－2－t，l的参数方程为?(t为参数)，若将曲线C1上的点的横坐标不变，纵坐标变为原

?y＝33＋3t

3

来的倍得曲线C2.

2

(1)写出曲线C2的参数方程；

11

(2)设点P(－2,33)，直线l与曲线C2的两个交点分别为A，B，求＋的值．

|PA||PB|3

解析 (1)若将曲线C1上的点的纵坐标变为原来的倍，则曲线C2的直角坐标方程为x2＋

2

?2y?2＝4，整理得x2＋y2＝1， ?3?49

??x＝2cos θ，

所以曲线C2的参数方程为?(θ为参数)．

?y＝3sin θ?

?x＝－2－2t′，

(2)将直线l的参数方程化为标准形式为?3

y＝33＋t′?2

xy

入2＋2＝1得49

1

(t′为参数)，将参数方程代

?－2－1t′?2?33＋3t′?2

2??2??

4

＋9

7

＝1，整理得(t′)2＋18t′＋36＝0，设点A对

4

72144

应的参数为t′1，点B对应的参数为t′2，则t′1＋t′2＝－，t′1t′2＝，所以t′1与

77t′2都小于0，所以|PA|＋|PB|＝|t′1＋t′2|＝72

|PA|＋|PB|71

＝＝.

|PA||PB|1442

7

7214411，|PA||PB|＝t′1t′2＝，所以＋＝77|PA||PB|

能力提升(建议用时：25分钟)

??x＝tcos α，

6．(2019·湖南岳阳模拟)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为?(t为

?y＝1－tsin α?

参数，0<α<π)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，且两种坐标系取相同4sin θ

的长度单位，曲线C的极坐标方程为ρ＝2.

cosθ

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，若|AB|≥16，求角α的取值范围．

4sin θ

解析 (1)因为ρ＝2，所以ρcos2θ＝4sin θ，所以ρ2cos2θ＝4ρsin θ，即x2＝4y，故曲线

cosθ