课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用北师大版必修9

学 习 资 料 汇编

§9 三角函数的简单应用

1．能用三角函数研究简单的实际问题，尤其是周期性问题．(重点) 2．将实际问题抽象为三角函数模型．(难点)

[基础·初探]

教材整理 三角函数模型的应用

阅读教材P58～P59练习以上部分，完成下列问题． 1．三角函数模型的应用

(1)根据实际问题的图像求出函数解析式．

(2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集的数据，进行函数拟合，从而得到函数模型． 2．解答三角函数应用题的一般步骤

判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝sin x在第一象限内是增函数．( ) (2)函数y＝3sin x－1的最大值为3.( )

(3)直线x＝π是函数y＝sin x的一条对称轴．( ) (4)函数y＝sin(πx－4)的周期为2.( )

π

【解析】 (1)由正弦函数图像知，正确；(2)最大值应该是3－1＝2；(3)x＝＋kπ(k2

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2π

∈Z)是y＝sin x的对称轴；(4)T＝＝2.

π

【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

三角函数在物理学中的应用 交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝2203

π??sin?100πt＋?来表示，求： 6??

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 【精彩点拨】 (1)求t＝0时所对应的电压． (2)求函数的周期．(3)求函数的最值．

【自主解答】 (1)当t＝0时，E＝1103(V)，即开始时的电压为1103V. 2π1

(2)T＝＝(s)，即时间间隔为0.02 s.

100π50(3)电压的最大值为2203V，

ππ1

当100πt＋＝，即t＝(s)时第一次取得最大值．

62300

由于物理学中的单摆、光学、机械波、电学等知识都具有周期性，且均符合函数y＝

Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的变换规律，因此可借助于三角函数模型来研究物理学中的

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相关现象．

[再练一题]

1.如图1－9－1，一弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图像，求：

图1－9－1

(1)经过多长时间，小球往复振动一次； (2)这条曲线的函数解析式；

(3)小球开始振动时，离开平衡位置的位移． 【解】 (1)由图像可知，周期T＝2×?

?7π－π?＝π，

?

?1212?

所以小球往复振动一次所需要的时间为π s. (2)由题意可设该曲线的函数解析式为

s＝Asin(ωt＋φ)，t∈[0，＋∞)．

从图像中可以看出A＝4，又

2π

＝π，所以ω＝2. ω

π

从而s＝4sin(2t＋φ)，将t＝，s＝4代入上式，

12得sin?

?π＋φ?＝1，所以φ＝π.

?3?6?

π?故这条曲线的函数解析式为

s＝4sin?2t＋?，t∈[0，＋∞)． 3

??

?

π

(3)当t＝0时，s＝4sin ＝23(cm)．故小球开始振动时，离开平衡位置的位移是23

3cm.

[探究共研型]

三角函数的实际应用 探究1 建立三角函数模型解决实际问题的思路是什么？ 【提示】(1)先寻找与角有关的信息，确定选用正弦、余弦还是正切函数模型．

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(2)其次是搜集数据，建立三角函数解析式并解题． (3)最后将所得结果翻译成实际答案． 探究2 如何建立拟合函数模型？

【提示】 (1)利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”． (2)观察“散点图”，并进行数据拟合，获得具体的函数模型． (3)利用这个函数模型解决相应的实际问题，并进行检验．

π??探究3 由图像怎样确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b?A>0，ω>0，|φ|

2

，b＝

ymax＋ymin

2

.

某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深

数据：

t/h y/m 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 根据上述数据描出曲线，如图1－9－2所示，经拟合，该曲线可近似地看做函数y＝Asin ωt＋b的图像．

图1－9－2

(1)试根据以上数据，求函数解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？

【精彩点拨】 (1)根据题意确定A，b，ω，φ. (2)根据题意水深y≥11.5可求解．

【自主解答】 (1)从拟合曲线可知，函数y＝Asin ωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h，

2ππ

因此＝12，得ω＝. ω6∵当t＝0时，y＝10，∴b＝10. ∵ymax＝13，∴A＝13－10＝3.

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