不等式推理与证明算法初步与复数考点测试37直接证明与间接证明

考点测试37 直接证明与间接证明

高考概览

高考在本考点的常考题型为解答题，分值12分，中、高等难度 考纲研读

1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点

2．了解反证法的思考过程和特点

一、基础小题

1．命题“对于任意角θ，cosθ－sinθ＝cos2θ”的证明：“cosθ－sinθ＝(cosθ－sinθ)·(cosθ＋sinθ)＝cosθ－sinθ＝cos2θ”过程应用了( )

A．分析法 B．综合法

C．综合法、分析法综合使用 D．间接证明法 答案 B

解析 因为证明过程是“从左往右”，即由条件?结论．

2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( ) A．三个内角至多有一个大于60° B．三个内角都不大于60° C．三个内角都大于60° D．三个内角至多有两个大于60° 答案 C

解析 “三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.

3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 证明过程如下：

∵a，b，c∈R，∴a＋b≥2ab，

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4

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4

4

2

b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.

又∵a，b，c不全相等，

∴以上三式至少有一个“＝”不成立．

∴将以上三式相加得2(a＋b＋c)>2(ab＋bc＋ac)． ∴a＋b＋c>ab＋bc＋ca. 此证法是( )

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2

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A．分析法 B．综合法

C．分析法与综合法并用 D．反证法 答案 B

解析 由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．

4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b－ac<3a”索的因应是( )

A．a－b>0 B．a－c>0

C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0 答案 C 解析

2

b2－ac<3a?b2－ac<3a2

2

2

?(a＋c)－ac<3a ?a＋2ac＋c－ac－3a<0

2

2

2

?－2a＋ac＋c<0

2

2

?2a－ac－c>0

2

2

?(a－c)(2a＋c)>0?(a－c)(a－b)>0.

5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P，Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P＝Q

C．P

解析 令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7， ∴P

据此猜想a≥0时P

只要证2a＋7＋2a?a＋7?<2a＋7＋2?a＋3??a＋4?， 只要证a＋7a

∵0<12成立，∴P

6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )

窗口 2

2

2

2

1 6 11 … 3 8 13 … 2 7 12 … 4 9 14 … 过道 5 10 15 … 窗口 A.48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85 答案 D

解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D符合条件．

7．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 答案 D

解析 若1，2号得第一名，则乙丙丁都对，若3号得第一名，则只有丁对，若4，5号得第一名，则甲乙都对，若6号得第一名，则乙丙都对，因此只有丁猜对．故选D.

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8．记S＝10＋10＋10＋…＋11，则S与1的大小关系是________．

22＋12＋22－1答案 S<1

1111

解析 ∵10<10，10<10，…，

2＋122＋22111＝1010<10， 2－12＋2－12

11

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∴S＝10＋10＋10＋…＋11<10＋10＋…＋10＝1.

22＋12＋22－1222二、高考小题

9．(2019·山东高考)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )

A．方程x＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x＋ax＋b＝0至多有一个实根

33

3

C．方程x＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x＋ax＋b＝0恰好有两个实根 答案 A

解析 “方程x＋ax＋b＝0至少有一个实根”的否定是“方程x＋ax＋b＝0没有实根”．

三、模拟小题

10．(2019·山东济南模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )

A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 答案 B

解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.

11．(2018·宁夏银川调研)设a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a－b)＋(b－c)＋(c－a)≠0； ②a>b，a

解析 ①②正确；③中，a≠b，b≠c，a≠c可以同时成立，如a＝1，b＝2，c＝3，故正确的判断有2个．

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12．(2018·长春模拟)设a，b，c都是正数，则a＋，b＋，c＋三个数( )

2

2

2

2

3

3

3

3

bcaA．都大于2 B．都小于2

C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 答案 D

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解析 假设a＋，b＋，c＋都小于2，则有a＋＋b＋＋c＋<6. bcabca因为a，b，c都是正数， 111

所以a＋＋b＋＋c＋

bca?1??1??1?＝?a＋?＋?b＋?＋?c＋? ?

a??

b??

c?