标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2：课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例

64x－x2

＝25·(x∈N*)．

x＋8?x＋32?·?x－16?

(2)T′＝－25·，

?x＋8?2由T′＝0得x＝16或x＝－32(舍去)．

当0

层级二 应试能力达标

1．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y1

＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )

3

A．13万件 C．9万件

B．11万件 D．7万件

解析：选C y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9或x＝－9(舍去)，当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0. 所以当x＝9时，y取得最大值．

2．若一球的半径为r，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( ) A．2πr2 C．4πr2

B．πr2 1 D.πr2

2

解析：选A 设内接圆柱的底面半径为r1，高为t，

22则S＝2πr1t＝2πr12r2－r21＝4πr1r－r1. 4224∴S＝4πr2r21－r1. 令(rr1－r1)′＝0得r1＝

2

r. 2

此时S＝4π·

2r·2

r2－

?2r?2＝4π·2r·2r＝2πr2.

22?2?

3．某商品一件的成本为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出(200－x)件，要使利润最大每件定价为( )

A．80元 C．90元

B．85元 D．95元

解析：选B 设每件商品定价x元，依题意可得 利润为L＝x(200－x)－30x＝－x2＋170x(0＜x＜200)． L′＝－2x＋170，令－2x＋170＝0，解得x＝

170

＝85. 2

因为在(0,200)内L只有一个极值，所以以每件85元出售时利润最大． 4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为( ) R3A.和R 22

B.

545R和R 55

47C.R和R 55

D．以上都不对

解析：选B 设矩形的宽为x，则长为2R2－x2， 则l＝2x＋4R2－x2(0

， R2－x255R，x2＝－R(舍去)． 55

55

R时，l′>0，当R

5545

R时，l取最大值，即周长最大的矩形的宽和长分别为R，R. 555

所以当x＝

5．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

解析：设该公司一年内总共购买n次货物，则n＝∴总运费与总存储费之和f(x)＝4n＋4x＝＝20，x＝－20(舍去)，

x＝20是函数f(x)的最小值点，故当x＝20时，f(x)最小． 答案：20

6.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为__________ m时，帐篷的体积最大．

解析：设OO1为x m，底面正六边形的面积为S m2，帐篷的体积为V m3. 则由题设可得正六棱锥底面边长为32－?x－1?2＝8＋2x－x2(m)，于是底面正六边形的面积为S＝6×

333

(8＋2x－x2)2＝(8＋2x－x2)． 42帐篷的体积为

13333V＝×(8＋2x－x2)(x－1)＋(8＋2x－x2)

322＝＝

3

(8＋2x－x2)[?x－1?＋3] 2

3

(16＋12x－x3)， 2

400， x

1 6001 600

＋4x，令f′(x)＝4－2＝0，解得xxx

V′＝

3

(12－3x2)． 2

令V′＝0，解得x＝2或x＝－2(不合题意，舍去)． 当1＜x＜2时，V′＞0；当2＜x＜4时，V′＜0. 所以当x＝2时，V最大． 答案：2

7．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技1

术改造费x百万元，可增加的销售额约为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，

3使该公司由此获得的收益最大．(收益＝销售额－投入)

解：(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)， 则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，

∴当t＝2时，f(t)取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，

则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是g(x)(百万元)， 11

－x3＋x2＋3x?＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)， 则g(x)＝??3?3∴g′(x)＝－x2＋4，

令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.

又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2

∴当x＝2时，g(x)取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此获得的收益最大．

8．统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为y＝

13

x3－x＋8(0

128 00080

(1)当x＝64千米/小时时，行驶100千米耗油量多少升？ (2)若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶多少千米？ 解：(1)当x＝64千米/小时时，要行驶100千米需要

10025

＝小时，要耗油 6416

?1×643－3×64＋8?×25＝11.95(升)．

80?128 000?16

(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米，由题意得，

?1x3－3x＋8?×a＝22.5， 80?128 000?x

∴a＝

， 1832

x＋－

x80128 000

183x2＋x－，

128 0008022.5

设h(x)＝

则当h(x)最小时，a取最大值，

3318x－80

h′(x)＝x－＝，

64 000x264 000x2令h′(x)＝0?x＝80， 当x∈(0,80)时，h′(x)<0， 当x∈(80,120)时，h′(x)>0，

故当x∈(0,80)时，函数h(x)为减函数， 当x∈(80,120)时，函数h(x)为增函数，

∴当x＝80时，h(x)取得最小值，此时a取最大值为 a＝

22.5

183

×802＋－128 0008080

＝200.

故若油箱有22.5升油，则该型号汽车最多行驶200千米．