标题-2017-2018学年高中数学三维设计人教A版浙江专版选修2-2：课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例

课时跟踪检测（八） 生活中的优化问题举例

层级一 学业水平达标

1．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时时，1

原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是

3( )

A．8 C．－1

20 B.

3 D．－8

解析：选C 瞬时变化率即为f′(x)＝x2－2x为二次函数，且f′(x)＝(x－1)2－1，又x∈[0,5]，故x＝1时，f′(x)min＝－1.

2．把一段长为12 cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )

33A. cm2

2C．32 cm2

B．4 cm2 D．23 cm2

解析：选D 设一段为x，则另一段为12－x(0＜x＜12)，

2

1?x?231?12－x?233?2x8x3?48?

x－. 则S(x)＝×?3?×＋××＝?9－3＋16?，∴S′(x)＝?222?3?244?93?

令S′(x)＝0，得x＝6， 当x∈(0,6)时，S′(x)＜0， 当x∈(6,12)时，S′(x)＞0， ∴当x＝6时，S(x)最小． ∴S＝83?1

2××62－×6＋16?＝23(cm2)．

3?4?9

3．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，1??400x－2x2?0≤x≤400?，

已知总收益R与年产量x的关系是R(x)＝?则总利润最大时，每

??80 000?x>400?，年生产的产品是( )

A．100 C．200

B．150 D．300

解析：选D 由题意，总成本为：C＝20 000＋100x，所以总利润为P＝R－C＝x??300x－2－20 000，0≤x≤400，

? ??60 000－100x，x>400，

2

??300－x，0≤x≤400，P′＝?令P′＝0，当0≤x≤400时，得x＝300；当x>400时，

?－100，x>400，?

P′<0恒成立，易知当x＝300时，总利润最大．

4．设正三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A.4V 3C.4V

3 B．2V 1 D.V

2

4V

， 3x2

解析：选C 设底面边长为x，则高为h＝∴S表＝3×

4V3243V32

2×x＋2×4x＝x＋2x， 3x

43V

＋3x， x2∴S表′＝－

3令S表′＝0，得x＝4V.

3

经检验知，当x＝4V时，S表取得最小值．

5．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( ) A．R 4C.R 3

B．2R 3 D.R

4

解析：选C 设圆锥高为h，底面半径为r，则R2＝(h－R)2＋r2，∴r2＝2Rh－h2，∴V4R1π2π44

＝πr2h＝h(2Rh－h2)＝πRh2－h3，V′＝πRh－πh2.令V′＝0得h＝R. 当00；当

4R4

6．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2

和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元．

解析：设甲地销售x辆，则乙地销售(15－x)辆． 总利润L＝5.06x－0.15x2＋2(15－x) ＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)． 令L′＝－0.3x＋3.06＝0，得x＝10.2. ∴当x＝10时，L有最大值45.6. 答案：45.6

7．如图，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．

x?xx

，0，点B坐标为?，1－?， 解析：设CD＝x，则点C坐标为??2??24?∴矩形ABCD的面积

2

2

?1－x? S＝f(x)＝x·?4?

x3

＝－＋x，x∈(0,2)．

43

由f′(x)＝－x2＋1＝0，

4得x1＝－22(舍)，x2＝， 33

2??0，∴x∈时，f′(x)＞0，f(x)是递增的， 3??x∈

?2，2?时，f′(x)＜0，f(x)是递减的，

?3?

243时，f(x)取最大值.

9343

9

当x＝答案：

2

8．某厂生产某种产品x件的总成本：C(x)＝1 200＋x3，又产品单价的平方与产品件

75数x成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．

解析：设产品单价为a元，又产品单价的平方与产品件数x成反比，即a2x＝k，由题500知a＝. x

总利润y＝500x－y′＝

23

x－1 200(x>0)， 75

25022

－x，由y′＝0，得x＝25，x∈(0,25)时， x25

y′>0，x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时， y取最大值． 答案：25

9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

k

3x＋5

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f(x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值． 解：(1)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝＝8，得k＝40，

因此C(x)＝

40

. 3x＋5

k

，再由C(0)3x＋5

而建造费用为C1(x)＝6x.

最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 40

f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x

3x＋5＝

800

＋6x(0≤x≤10)． 3x＋5

2 400

，

?3x＋5?22 400

＝6，

?3x＋5?2(2)f′(x)＝6－令f′(x)＝0，即

25

解得x＝5，x＝－(舍去)．

3

当00， 故x＝5是f(x)的最小值点，对应的最小值为 f(5)＝6×5＋

800

＝70. 15＋5

当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．

10．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝

3x

(x∈N*)． 4x＋32

(1)写出该厂的日盈利额T(元)用日产量x(件)表示的函数关系式； (2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件？

解：(1)由题意可知次品率p＝日产次品数/日产量，每天生产x件，次品数为xp，正品数为x(1－p)．

因为次品率p＝

3x

，当每天生产x件时， 4x＋32

3x?3x?1－有x·件次品，有x

?4x＋32?件正品． 4x＋323x3x

所以T＝200x?1－4x＋32?－100x· ??4x＋32