2012-2013学年江苏省泰州市高三（上）期末数学试卷

若a+2b=0，则有a=﹣2b，∴a=b=0． 若a+2b≠0，则 x1=b，，且 b=． ①当b=0，则由二次函数的性质得 a＜0， ②当b≠0，则 综上可得，，∴a=b，且b＜0． ，a=b≤0或 a＜0，b=0．…..（16分） 点评： 本题主要考查函数在某点取得极值的条件，函数的恒成立问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题． 21．（6分）如图⊙O的两弦AB，CD所在直线交于圆外一点P． （1）若PC=2，CD=1，点A为PB的中点，求弦AB的长； （2）若PO平分∠BPD，求证：PB=PD．

考点： 与圆有关的比例线段． 分析： （1）利用割线定理即可得出； （2）利用垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可得出． 解答： 解（1）由割线定理可得：PA?PB=PC?PD， ∵点A为PB的中点，∴PA=AB，∴AB?2AB=2×3，解得AB=． （2）作OM⊥CD于 M，ON⊥AB于N， ∵PO平分∠BPD，∴OM=ON，在同圆中弦心距相等，∴AB=CD， ∴点M平分弦CD，点N平分弦AB，∴AN=NB，CM=MD，∴NB=MD． 又∵△PON≌△POM，∴PN=PM， ∴PN+NB=PM+MD， ∴PB=PD． 点评： 熟练掌握圆的割线定理、垂径定理、同圆中的弦与弦心距的关系定理、角平分线的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 22．（6分）已知变换T 把平面上的点（1，0），（0，（1）试求变换T对应的矩阵M；

2

2

）分别变换成点（1，1），（﹣，）．

（2）求曲线x﹣y=1在变换T的作用下所得到的曲线的方程．

考点： 几种特殊的矩阵变换． 专题： 计算题． 分析： （1）先设出所求矩阵，利用待定系数法建立一个四元一次方程组，解方程组即可； 22（2）先设P（x，y）是曲线x﹣y=1上的任一点，P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵T对应变换作用下新曲线上的对应点，根据矩阵变换求出P与P1的关系，代入已知曲线求出所求曲线即可． 解答： 解：（1）设矩阵M=依题意得，=→， ∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1， （0，） 变换为（﹣，） 得：b=﹣1，d=1 所求矩阵M=…（5分） （2）变换T所对应关系22解得…（7分） 代入x﹣y=1得：x′y′=1， 22故x﹣y=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分） 点评： 本题主要考查来了逆矩阵与投影变换，以及计算能力，属于基础题．

23．（6分）已知直线（t为参数）与圆C：（θ为参数）相交于A，B两点，m为常数．

（1）当m=0时，求线段AB的长；

（2）当圆C上恰有三点到直线的距离为1时，求m的值． 考点： 参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： （1）先把参数方程化为普通方程，再利用点到直线的距离公式、弦长|AB|=2即可得出； （2）圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件?圆心C到直线l的距离=1． 解答： 解：（1）由直线（t为参数）消去参数化为普通方程l：x+y﹣1=0； 22当m=0时，圆C：∴圆心C到直线l的距离为 d=∴|AB|=2=． （θ为参数）消去参数θ得到曲线C：x+y=4，圆心C（0，0），半径r=2． ， （2）由（1）可知：x+y﹣1=0， 22又把圆C的参数方程的参数θ消去可得：x+（y﹣m）=4，∴圆心C（0，m），半径r=2． 只要圆心C到直线l的距离=1即可满足：圆C上恰有三点到直线的距离为1的条件． 由d=∴m=1+点评： =1，解得m﹣1=±或m=1﹣． 及正确把问题等价转化是解题的关， 熟练把参数方程化为普通方程、掌握点到直线的距离公式、弦长|AB|=2键． 24．（6分）若a，b，c∈R，a+2b+3c=6． （1）求abc的最大值； （2）求证

≥12．

+

考点： 基本不等式． 专题： 综合题． 分析： （1）由已知可得abc=a?2b?3c≤（），可求 3（2）由+++=3+++=（++） （a+2b+3c），化简后利用基本不等式可证 解答： 解：（1）∵a，b，c∈R，a+2b+3c=6 ∴abc=a?2b?3c≤（）= 3当a=2，b=1，c=时取等号，∴abc的最大值为…．…..（5分） （2）∵++=3+++ ++）=54 2而（++） （a+2b+3c）≥（∴++≥9 ∴++≥12…（10分） 点评： 本题主要考查了基本不等式在求解最值及证明中的应用，解题的关键是对基本不等式应用条件的配凑 25．（6分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AD、DC的中点． （1）求直线BC1与平面EFD1所成角的正弦值；

（2）设直线BC1上一点P满足平面PAC∥平面EFD1，求PB的长．

考点： 用空间向量求直线与平面的夹角；平面与平面平行的判定；直线与平面所成的角． 专题： 空间位置关系与距离；空间角．