【数学】2016-2017年河南省郑州市高二上学期数学期末试卷(理科)及答案

（2）因为bn=所以Tn=+…Tn=

+…+

++

=（n≥2） ①

②…..（8分）

①﹣②得Tn=1++…+﹣=﹣，

所以数列{bn}的前n项和Tn=3﹣．…..（12分）

20．（12分）已知命题p：函数f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R，命题q：对于x∈[1，3]，不等式ax2﹣ax﹣6+a＜0恒成立，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

【分析】若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而得到答案． 【解答】解：当P真时，f（x）=lg（x2﹣2x+a）的定义域为R， 有△=4﹣4a＜0， 解得a＞1．…..（2分）

当q真时，即使g（x）=ax2﹣ax﹣6+a在x∈[1，3]上恒成立， 则有a＜

在x∈[1，3]上恒成立，

=

≥，

而当x∈[1，3]时，

故a＜．…..（5分）

又因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p，q一真一假，…..（6分） 当p真q假时，a＞1．…..（8分） 当p假q真时，a＜…..（10分）

所以实数a的取值范围是（﹣∞，）∪（1，+∞）…..（12分）

21．（12分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2

（1）求直线DC与平面ADB1所成角的大小；

（2）在棱上AA1是否存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，若存在，确定P的位置，若不存在，说明理由．

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【分析】（1）以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线DC与平面ADB1所成角的大小． （2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，利用向量法能求出棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．

【解答】解：（1）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面为边长为1的正方形，侧棱AA1=2，

∴以点D为坐标原点O，DA，DC，DA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…..（2分）

D（0，0，0），A（1，0，0），B1（0，1，

，

=（0，1，

），，

，1），…..（4分） ），C（0，1，0），

=（0，1，0），

设平面ADB1的法向量为则

，取z=1，得=（0，﹣

设直线DC与平面所ADB1成角为θ， 则sinθ=|cos＜∵θ∈[0，

＞|=

，

．…..（6分） =

，

]，∴θ=

∴直线DC与平面ADB1所成角的大小为

（2）假设存在点P（a，b，c），使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， 设

=

，由A1（0，0，

），得（a﹣1，b，c）=λ（﹣a，﹣b，

），

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∴，解得，

B1（0，1，﹣

），C1（﹣1，1，

），=（﹣1，0，0），=（，﹣1，

），

设平面的法向量为=（x，y，z），

则，取z=1，得=（0，﹣，1），…．（9分）

由（1）知，平面AB1C1D的法向量为=（0，﹣∵二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°， ∴cos30°=

=

=

．

，1），

由λ＞0，解得λ=2，

所以棱AA1上存在一点P，使得二面角A﹣B1C1﹣P的大小为30°，且AP=2PA1．

22．（12分）在圆x2+y2=3上任取一动点P，过P作x轴的垂线PD，D为垂足，=动点M的轨迹为曲线C． （1）求C的方程及其离心率；

（2）若直线l交曲线C交于A，B两点，且坐标原点到直线l的距离为

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，求△

AOB面积的最大值． 【分析】（1）由

=

得x0=x，y0=

y，即可得到椭圆的方程及其离心率；

，故求△AOB面积的最大值的问

（2）由于已知坐标原点O到直线l的距离为

题转化为求线段AB的最大值的问题，由弦长公式将其表示出来，再判断最值即可得到线段AB的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），P（x0，y0），由（2分）

因为x02+y02=3，所以x2+3y2=3，即其离心率e=

．…..（4分）

．（5分）

=1，

=

得x0=x，y0=

y …..

（Ⅱ）当AB与x轴垂直时，|AB|=②当AB与x轴不垂直时，

设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）， 由已知

，得

．（6分）

把y=kx+m代入椭圆方程，整理得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣3=0， ∴x1+x2=

，x1x2=

（7分）

≤4，

∴k≠0，|AB|2=（1+k2）（x2﹣x1）2=3+

当且仅当9k2=

，即k=时等号成立，此时|AB|=2．（10分）

当k=0时，|AB|=．（11分）

综上所述：|AB|max=2， 此时△AOB面积取最大值

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