【数学】2016-2017年河南省郑州市高二上学期数学期末试卷(理科)及答案

b+2a=ab．

∴（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8≥32． 故选：C．

12．（5分）圆O的半径为定长，A是平面上一定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为（ ） A．一个点 C．双曲线

B．椭圆

D．以上选项都有可能

【分析】结合双曲线的定义及圆与直线的相关性质，推导新的结论，熟练掌握双曲线的定义及圆与直线的性质是解决问题的关键． 【解答】解：∵A为⊙O外一定点，P为⊙O上一动点 线段AP的垂直平分线交直线OP于点Q， 则QA=QP，则QA﹣QO=QP﹣QO=OP=R， 即动点Q到两定点O、A的距离差为定值，

根据双曲线的定义，可知点Q的轨迹是：以O，A为焦点，OP为实轴长的双曲线 故选：C．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．（5分）命题“?x∈[﹣tanx＞m ．

【分析】根据已知中的原命题，结合特称命题的否定方法，可得答案． 【解答】解：命题“?x∈[﹣tanx＞m”， 故答案为：?x∈[﹣

，]，tanx≤m”的否定为 ?x∈[﹣，]，，]，tanx≤m”的否定为命题“?x∈[﹣，]，

，]，tanx＞m

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14．（5分）若x，y满足，则z=x+2y的取值范围为 [0，] ．

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解范围即可． 【解答】解：x，y满足z=x+2y化为：y=﹣

+

，不是的可行域如图：

，当y=﹣

+

经过可行域的O时

目标函数取得最小值，经过A时，目标函数取得最大值， 由

，可得A（，），

=．

则z=x+2y的最小值为：0；最大值为：则z=x+2y的取值范围为：[0，]． 故答案为：[0，]．

15．（5分）已知F为双曲线C：﹣=1的左焦点，A（1，4），P是C右支上

．

一点，当△APF周长最小时，点F到直线AP的距离为

【分析】设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，求出直线AP的方程，即可求出点F到直线AP的距离．

【解答】解：设双曲线的右焦点为F′（4，0），由题意，A，P，F′共线时，△APF周长最小，直线AP的方程为y=∴点F到直线AP的距离为故答案为：

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（x﹣4），即4x+3y﹣16=0， =

，

n

16．（5分）若数列{an}满足an+1+（﹣1）?an=2n﹣1，则{an}的前40项和为 820 ．

【分析】根据熟练的递推公式，得到数列通项公式的规律，利用构造法即可得到结论．

【解答】解：由于数列{an}满足an+1+（﹣1）n an=2n﹣1， 故有 a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，

a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．

从而可得 a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，

从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

{an}的前40项和为 10×2+（10×8+故答案为：820

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．（10分）设f（x）=（m+1）x2﹣mx+m﹣1． （1）当m=1时，求不等式f（x）＞0的解集； （2）若不等式f（x）+1＞0的解集为

，求m的值． ×16）=820，

【分析】（1）直接把m=1代入，把问题转化为求2x2﹣x＞0即可；

（2）直接根据一元二次不等式的解集与对应方程的根之间的关系求解即可． 【解答】（本题12分） 解：（1）当m=1时，

不等式f（x）＞0为：2x2﹣x＞0?x（2x﹣1）＞0?x＞，x＜0； 因此所求解集为

； …（6分）

（2）不等式f（x）+1＞0即（m+1）x2﹣mx+m＞0 ∵不等式f（x）+1＞0的解集为所以

，

是方程（m+1）x2﹣mx+m=0的两根

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因此 ?． …（12分）

18．（12分）在△ABC中，a，b，c的对角分别为A，B，C的对边，a2﹣c2=b2﹣a=6，△ABC的面积为24． （1）求角A的正弦值； （2）求边b，c．

，

【分析】（1）已知等式整理后，利用余弦定理化简求出cosA的值，进而求出sinA的值；

（2）利用三角形面积公式列出关系式，将sinA与已知面积代入求出bc的值，再将a与bc的值代入已知等式求出b2+c2的值，联立即可求出b与c的值． 【解答】解：（1）由在△ABC中，a2﹣c2=b2﹣则sinA=

=；

①，整理得cosA=

=，

（2）∵S=bcsinA=24，sinA=， ∴bc=80，

将a=6，bc=80代入①得：b2+c2=164，

与bc=80联立，解得：b=10，c=8或b=8，c=10．

19．（12分）Sn为数列{an}的前n项和，已知an＞0，an2+an=2Sn． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=

，求数列{bn}的前n项和Tn．

【分析】（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即可求数列{an}的通项公式； （2）若bn=

，利用错位相减法，求数列{bn}的前n项和Tn．

【解答】解：（1）由题得an2+an=2Sn，an+12+an+1=2Sn+1，两式子相减得： 结合an＞0得an+1﹣an=1 …..（4分） 令n=1得a12+a1=2S1，即a1=1，

所以{an}是首项为1，公差为1的等差数列，即an=n…..（6分）

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