【数学】2016-2017年河南省郑州市高二上学期数学期末试卷(理科)及答案

【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=∴sinA=由正弦定理得，

=，

，

，

则sinB=故选：D．

==，

4．（5分）等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40，则a6=（ ） A．16

B．32

C．64

D．128

【分析】由等比数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a6． 【解答】解：∵等比数列{an}中，a2+a4=20，a3+a5=40， ∴

∴a6=2×25=64． 故选：C．

5．（5分）两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离分别是akm和2akm，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B之间的距离为（ ） A．

akm

B．2akm

C．

akm

D．

akm

，解得a=2，q=2，

【分析】先根据题意确定∠ACB的值，再由余弦定理可直接求得|AB|的值． 【解答】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=akm，BC=2akm， ∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=

akm，

akm，

，

即灯塔A与灯塔B的距离为故选：D．

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6．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足则BE与DF所成角的正弦值为（ ） A．

=3，=3，

B．

C．

D．

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BE与DF所成角的正弦值．

【解答】解：如图，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为4， ∵点E，F满足

=3

，

=3

，

∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F（0，1，4）， =（0，﹣1，4），

=（0，1，4），

设异面直线BE与DF所成角为θ， 则cosθ=sinθ=

=

=，

． =

．

∴BE与DF所成角的正弦值为故选：A．

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7．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1009=1，则S2017（ ） A．1008

B．1009

C．2016

D．2017

【分析】由等差数列的性质得S2017=果．

（a1+a2017）=2017a1009，由此能求出结

【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，a1009=1， ∴S2017=故选：D．

8．（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A，B两点，若O为坐标原点，则A．﹣1

?

=（ ）

B．﹣2

C．﹣3

D．﹣4

（a1+a2017）=2017a1009=2017．

【分析】由抛物线y2=4x与过其焦点（1，0）的直线方程联立，消去y整理成关于x的一元二次方程，设出A（x1，y1）、B（x2，y2）两点坐标，则由韦达定理可以求得答案．

【解答】解：由题意知，抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴直线AB的方程为y=k（x﹣1）， 由

，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），

?

=x1?x2+y1?y2，

x1+x2=则

?

，x1+x2=1，y1?y2=k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=k2[x1?x2﹣（x1+x2）+1]' =x1?x2+y1?y2=x1?x2+k（x1﹣1）?k（x2﹣1）=﹣3．

故选：C．

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9．（5分）设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C

上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（ ） A．

B． C． D．

【分析】设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．

【解答】解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°， ∴|PF1|=2x，|F1F2|=

x，

又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c ∴2a=3x，2c=

x，

=

．

∴C的离心率为：e=故选：D．

10．（5分）在△ABC中，若BC=2，A=120°，则A． 【分析】由

B．﹣

C．

?的最大值为（ ）

D．﹣

，?4=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA?4=AC2+AB2+AC?AB≥

?

=AC?ABcos120°即可

?4=AC2+AB2﹣2AC?ABcosA?

2A?CAB+AC?AB=3AC?AB?AC?AB，【解答】解：∵

，∴

4=AC2+AB2+AC?AB≥2A?CAB+AC?AB=3AC?AB?AC?AB≤ ∴

?

=AC?ABcos120°≤，则

?

的最大值为

，

故选：A．

11．（5分）正实数ab满足+=1，则（a+2）（b+4）的最小值为（ ） A．16

B．24

C．32

D．40

【分析】正实数a，b满足+=1，利用基本不等式的性质得ab≥8．把b+2a=ab代入（a+2）（b+4）=ab+2（b+2a）+8=3ab+8，即可得出． 【解答】解：正实数a，b满足+=1， ∴1≥2

，解得ab≥8，当且仅当b=2a=4时取等号．

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