高中数学选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》全套教案

【教学目标】

1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f(x)在闭区间

?a,b?上所有点（包括端点a,b）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤。

【教学重点】

利用导数求函数的最大值和最小值的方法。

【教学难点】

函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系

【学前准备】：多媒体，预习例题

教学课程 第三课 教学环节 导案/学案 师生互动//随堂测试 备注 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果x0是函数y?f?x?的极大（小）值点，那么在点x0附近找不到比f?x0?更大（小）的值。但是，在解决实际问题一、复习引入我们更关心函（5分钟） 或研究函数的性质时，数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小。如果x0是函数的最大（小）值，那么f?x0?不小（大）于函数x1yaOx2x3bx y?f?x?在相应区间上的所有函数值。 观察图中一个定义在闭区间?a,b?上的函数f(x)的图像。图中f(x1)与f(x3)是极小值，f(x2)是极大值。函数f(x)在?a,b?上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)。 1．结论：一般地，在闭区间?a,b?上函数y?f(x)的图像是一条连续例1．求1f?x??x3?4x?43在?0,3?的最大值与最小值。 解：由例4可知，0,3?上，当x?2不断的曲线，那么函数y?f(x)在在??a,b?上必有最大值与最小值。 时，f(x)有极小值，说明：（1）如果在某一区间上函并且极小值为4f(2)??，又由于数y?f(x)的图像是一条连续不断3二..探究新知 （25分钟） 的曲线，则称函数y?f(x)在这个区间上连续。（可以不给学生讲） （2）给定函数的区间必须是闭f?0??4，f?3??1，因此，函数 1f?x??x3?4x?43区间，在开区间(a,b)内连续的函数在?0,3?的最大值是f(x)不一定有最大值与最小值。如4，最小值是?4。 31函数f(x)?在(0,??)内连续，但没上述结论可以从x函数有最大值与最小值； 13fx?x?4x?4??（3）在闭区间上的每一点必须3连续，即函数图像没有间断， 在?0,3?上的图像得（4）函数f(x)在闭区间?a,b?上到直观验证。 连续，是f(x)在闭区间?a,b?上有最 大值与最小值的充分条件而非必要条件。 2．“最值”与“极值”的区别和联系。 （1）最值是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性。 （2）从个数上看，一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一； （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 （4）极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值。 3． 利用导数求函数的最值步骤：由上面函数f(x)的图像可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了。一般地，求函数f(x)在?a,b?上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数f(x)在?a,b?上的最值 1．下列说法正确的是（ ） A．函数的极大值就是函数的最大值 B．函数的极小值就是函数的最小值 C．函数的最值一定是极值 D．在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f（x）在区间［a，b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′（x）（ ） 三.巩固练习 （20分钟） A．等于0 B．大于0 C．小于0 D．以上都有可能 1113．函数y=x4?x3?x2，在［－1，1］4321210y上的最小值为（ ） A．0 13D． 12 B．－2 C．－1 8642-4-2 y=x4-2x2+5O24 4．求函数y?x4?2x2?5在区间??2,2?上的最大值与最小值。 x1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点； 2．函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，四．小结 谈收获 是f(x)在闭区间?a,b?上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件； 3．闭区间?a,b?上的连续函数一定有最值；开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值。