高中数学选修2-2第一章第三节《导数在研究函数中的应用》全套教案

v(t)?h'(t)??9.8t?6.5的图像。 y?f(x)在这个区间运动员从起跳到最高点，以及从内单调递增；如果最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现：f'(x)?0，那么函数y?f(x)在这个区间（1）运动员从起点到最高点，内单调递减。 离水面的高度h随时间t的增加而说明：（1）特别'增加，即h(t)是增函数。相应地，的，如果f(x)?0，v(t)?h'(t)?0。 那么函数y?f(x)在（2）从最高点到入水，运动员这个区间内是常函离水面的高度h随时间t的增加而数。 减少，即h(t)是减函数。相应地，v(t)?h'(t)?0。 3．求解函数y?f(x)单调区间的步骤： 2． 函数的单调性与导数的关系。观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系。 f'(x0)如图1.3-3，导数表示函数f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率。在，切线是“左x下右上”式的，这时，函数f(x)在0x?x1附近单调递增；在处，f'(x0)?0（1）确定函数y?f(x)的定义域； （2）求导数y'?f'(x)； x?x0处，f'(x0)?0（3）解不等式f'(x)?0，解集在定义域内的部分为增区，切线是“左上右下”式x间； 的，这时，函数f(x)在1附近单调（4）解不等式递减。 f'(x)?0，解集在定 义域内的部分为减区间。 三.巩固练习 （20分钟） 1．已知导函数f'(x)的下列信息： 当1?x?4时，f'(x)?0； 当x?4，或x?1时，f'(x)?0； 当x?4，或x?1时，f'(x)?0 试画出函数y?f(x)图像的大致形状。

解：当1?x?4时，f'(x)?0，可知y?f(x)在此区间内单调递增；

当x?4，或x?1时，f'(x)?0；可知y?f(x)在此区间内单调递减；

当x?4，或x?1时，f'(x)?0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”。

综上，函数y?f(x)图像的大致形状如图3.3-4所示。 2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）f(x)?x3?3x；（2）f(x)?x2?2x?3

（3）f(x)?sinx?xx?(0,?)；（4）f(x)?2x3?3x2?24x?1 解：（1）因为f(x)?x3?3x，所以，f'(x)?3x2?3?3(x2?1)?0 因此，f(x)?x3?3x在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示。'（2）因为f(x)?x2?2x?3，所以，f(x)?2x?2?2?x?1?

当f'(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x2?2x?3单调递增； 当f'(x)?0，即x?1时，函数f(x)?x2?2x?3单调递减； 函数f(x)?x2?2x?3的图像如图3.3-5（2）所示。 因为f(x)?sinx?xx?(0,?)，所以，f'(x)?cosx?1?0 因此，函数f(x)?sinx?x在(0,?)单调递减，如图3.3-5（3）所示。

因为f(x)?2x3?3x2?24x?1，所以

当f'(x)?0，函数f(x)?x2?2x?3； 当f'(x)?0，函数f(x)?x2?2x?3；

函数f(x)?2x3?3x2?24x?1的图像如图3.3-5（4）所示。 注：（3）、（4）生练

如图1.3-6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图像。

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快。反映在图像上，（A）符合上述变化情况。同理可知其它三种容器的情况。

解：?1???B?,?2???A?,?3???D?,?4???C?

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢。结合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时，函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就“平缓”一些。如图1.3-7所示，函数y?f(x)在?0,b?或?a,0?内的图像“陡峭”，在?b,???或???,a?内的图像“平缓”。

求证：函数y?2x3?3x2?12x?1在区间??2,1?内是减函数。

'22证明：因为y?6x?6x?12?6?x?x?2??6?x?1??x?2?

当x???2,1?即?2?x?1时，y'?0，所以函数

y?2x3?3x2?12x?1在区间??2,1?内是减函数。

说明：证明可导函数f?x?在?a,b?内的单调性步骤：

'（1）求导函数f?x?；

'（2）判断f?x?在?a,b?内的符号； ''（3）做出结论：f?x??0为增函数，f?x??0为减函数。 232已知函数f(x)?4x?ax?x(x?R)在区间??1,1?上是增函3数，求实数a的取值范围。 解：f'(x)?4?2ax?2x2，因为f?x?在区间??1,1?上是增函数，所以f'(x)?0对x???1,1?恒成立，即x2?ax?2?0对x???1,1?恒成立，解之得：?1?a?1 所以实数a的取值范围为??1,1?。 1．函数的单调性与导数的关系。 2．求解函数y?f(x)单调区间。 四．小结 谈收获 3．证明可导函数f?x?在?a,b?内的单调性。 完成课后习题 1．求下列函数的单调区间。 （1）f（x）=2x3－6x2?7 五.布置作业 （2）f（x）=1+2x x（3）f（x）=sinx，x?[0,2?] （4）y=xlnx 六．教学反思

函数的最大（小）值与导数