2011届高三数学一轮复习 三角函数的图象与性质巩固与练习

π

∴函数的定义域为{x|2kπ

π

答案：{x|2kπ

ππ

8．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－3，4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．

Tπ2π3

解析：由题意知4≤3，T＝ω，∴2ω≥3，ω≥2，

3

∴ω的最小值等于2. 3答案：2

??sinx，sinx≤cosx

9．对于函数f(x)＝?，给出下列四个命题：

?cosx，sinx>cosx?

①该函数是以π为最小正周期的周期函数；

②当且仅当x＝π＋kπ(k∈Z)时，该函数取得最小值－1；

5π

③该函数的图象关于x＝4＋2kπ(k∈Z)对称；

π

④当且仅当2kπ

2

0

解析：画出f(x)在一个周期[0,2π]上的图象．

答案：③④

π

10.已知函数f(x)＝log2[2sin(2x－3)]． (1)求函数的定义域；

(2)求满足f(x)＝0的x的取值范围．

πππ

解：(1)令2sin(2x－3)>0?sin(2x－3)>0?2kπ<2x－3<2kπ＋π，

π2π2

k∈Z?kπ＋6

π2ππ3

(2)∵f(x)＝0，∴sin(2x－3)＝2?2x－3＝2kπ＋4或2kπ＋4π，

713

k∈Z?x＝kπ＋24π或x＝kπ＋24π，k∈Z，故x的取值范围是{x|x＝kπ713

＋24π或x＝kπ＋24π，k∈Z}．

π2

11．已知函数f(x)＝sinωx＋3sinωxsin(ωx＋2)(ω>0)的最小正周期为π.

(1)求ω的值；

2π

(2)求函数f(x)在区间[0，3]上的取值范围．

1－cos2ωx3

解：(1)f(x)＝＋2sin2ωx 2

311＝2sin2ωx－2cos2ωx＋2 π1

＝sin(2ωx－6)＋2.

因为函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，

2π

所以2ω＝π，解得ω＝1.

π1

(2)由(1)得f(x)＝sin(2x－6)＋2. 2πππ7π

因为0≤x≤3，所以－6≤2x－6≤6，

1π

所以－2≤sin(2x－6)≤1，

π13

所以0≤sin(2x－6)＋2≤2，

3

即f(x)的取值范围为[0，2]．

ππ

12．已知a>0，函数f(x)＝－2asin(2x＋6)＋2a＋b，当x∈[0，2]时，－5≤f(x)≤1.

(1)求常数a，b的值；

π

(2)设g(x)＝f(x＋2)且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．

π

解：(1)∵x∈[0，2]，

ππ7π∴2x＋6∈[6，6]，

π1

∴sin(2x＋6)∈[－2，1]，

π

∴－2asin(2x＋6)∈[－2a，a]， ∴f(x)∈[b,3a＋b]，又－5≤f(x)≤1. ???b＝－5?a＝2∴?，解得?. ???3a＋b＝1?b＝－5

π

(2)f(x)＝－4sin(2x＋6)－1，

π7π

g(x)＝f(x＋2)＝－4sin(2x＋6)－1

π

＝4sin(2x＋6)－1，

又由lgg(x)>0，得g(x)>1，

π

∴4sin(2x＋6)－1>1，

π1

∴sin(2x＋6)>2， ππ5

∴6＋2kπ<2x＋6<6π＋2kπ，k∈Z， πππ

由6＋2kπ<2x＋6≤2kπ＋2，得

π

kπ

由2＋2kπ≤2x＋6<6π＋2kπ得 ππ

6＋kπ≤x<3＋kπ，k∈Z.

π

∴函数g(x)的单调递增区间为(kπ，6＋kπ](k∈Z)，

ππ

单调递减区间为[＋kπ，＋kπ)(k∈Z)

63

［例1］求经过两点P1（2，1）和P2（m，2）（m∈R)的直线l的斜率，并且求出l的倾斜角α及其取值范围.

选题意图：考查倾斜角与斜率之间的关系及斜率公式.

解：(1)当m=2时，x1＝x2＝2，∴直线l垂直于x轴，因此直线的斜率不存在，倾斜角α=

? 2(2)当m≠2时，直线l的斜率k=∴α=arctan

1∵m＞2时，k＞0. m?21?,α∈（0，）， m?221?，α∈(,π). m?221，m）共线，求m的值. 2∵当m＜2时，k＜0 ∴α＝π＋arctan

说明：利用斜率公式时，应注意斜率公式的应用范围. ［例2］若三点A(－2，3），B（3，－2），C（

选题意图：考查利用斜率相等求点的坐标的方法. 解：∵A、B、C三点共线， ∴ｋAB＝ｋAC，

?2?3m?3?. 13?2?22解得m=

1. 2说明：若三点共线，则任意两点的斜率都相等，此题也可用距离公式来解.

［例3］已知两点A(－1,－5),B(3,－2),直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求直线l的斜率.

选题意图：强化斜率公式.

解：设直线l的倾斜角α，则由题得直线AB的倾斜角为2α.

∵tan2α=ｋAB=

?2?(?5)3?.

3?(?1)4?2tan?3?

1?tan2?41或tanα＝－3. 3即3tan2α+8tanα－3=0， 解得tanα＝∵tan2α＝

3＞0,∴0°＜2α＜90°, 40°＜α＜45°， ∴tanα＝

1. 31 3因此，直线l的斜率是