2012中考数学专题复习之圆

A O1 O2 B C

19．（2010湖北黄石）在△ABC中，分别以AB、BC为直径⊙O1、⊙O2，交于另一点D. ⑴证明：交点D必在AC上；

⑵如图甲，当⊙O1与⊙O2半径之比为4︰3，且DO2与⊙O1相切时，判断△ABC的形状，并求tan∠O2DB的值；

⑶如图乙，当⊙O1经过点O2，AB、DO2的延长线交于E，且BE＝BD时，求∠A的度数.

部分答案 7、解：（1）AB=CD

理由：过O作OE、OF分别垂直于AB、CD，垂足分别为E、F ∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF

连结OD、OB且OB=OD ∴Rt△OFD≌Rt△OEB ∴DF=BE

根据垂径定理可得：AB=CD

（2）作OE⊥AB，OF⊥CD，垂足为E、F

∵∠APM=∠CPN且OP=OP，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt△OPE≌Rt△OPF ∴OE=OF

连接OA、OB、OC、OD

易证Rt△OBE≌Rt△ODF，Rt△OAE≌Rt△OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4

∴AB=CD 8、连接AD

∵AB是⊙O的直径

∴∠ADB=90°即AD⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD 9、解：（1）CD与⊙O相切

理由：①C点在⊙O上（已知） ②∵AB是直径

∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°

∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90°

综上：CD是⊙O的切线．

（2）在Rt△OCD中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10

∴AB=20，∴r=10

10、解：（1）由AB·CG=AC·BC得h=AC?BC8?AB?610=4.8 （2）∵h=

h?DNNFh?AB且DN=x ∴NF=10(4.8?x)4.8

则S·10252

四边形DEFN=x4.8（4.8-x）=-12x+10x

CAOBD

252120（x-x）

2512256023600 =- [（x-）-] 6251225252

=-（x-2.4）+12 x252

∵-（x-2.4）≤0 x252

∴-（x-2.4）+12≤12 且当x=2.4时，取等号 x =- ∴当x=2.4时，SDEFN最大．

（3）当SDEFN最大时，x=2.4，此时，F为BC中点，在Rt△FEB中，EF=2.4，BF=3． ∴BE=DE2?EF2?32?2.42=1.8 ∵BM=1.85，∴BM>EB，即大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案． ∵当x=2.4时，DE=5

∴AD=3.2，

由圆的对称性知满足条件的另一设计方案，如图所示:

CGAFB DEwww.czsx.com.c此时，?AC=6，BC=8，AD=1.8，BE=3.2，这样设计既满足条件，又避开大树．

11、∵△ABC为等边三角形

∴AC?BC，

又∵在⊙O中?PAC??DBC 又∵AP?BD

∴△APC≌△BDC． ∴PC?DC

[来源:Zxxk.Com]又∵AP过圆心O，AB?AC，?BAC?60°

1∴?BAP??PAC??BAC?30°

2∴?BAP??BCP?30°，?PBC??PAC?30° ∴?CPD??PBC??BCP?30°?30°?60°

∴△PDC为等边三角形．

（2）△PDC仍为等边三角形

理由：先证△APC≌△BDC（过程同上） ∴PC?DC

∵?BAP??PAC?60°

又∵?BAP??BCP，?PAC??PBC

∴?CPD??BCP??PBC??BAP??PAC?60°

又∵PC?DC

∴△PDC为等边三角形

12、解答：(1)证明：连结OD 则OD⊥CD，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt△AOE中，∠AEO+∠A=90°

在⊙O中，OA=OD∴∠A=∠ODA， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动∴CF⊥AO于F， 在Rt△AFE中，∠A+∠AEF=90°．

连结OD，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE∴CD=CE (3)CE=CD仍然成立．

∵原来的半径OB所在直线向上平行移动．AO⊥CF

延长OA交CF于G，在Rt△AEG中，∠AEG+∠GAE=90°

连结OD，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CE

[来源:Z|xx|k.Com]

13、（1）法一：过O作OE⊥AB于E，则AE=

1AB=23。 2在Rt△AEO中，∠BAC=30°，cos30°=

AE． OAE A∴OA=

AE=cos30?2332O=4．

BF CD又∵OA=OB，∴∠ABO=30°．∴∠BOC=60°．

??CD?． ∵AC⊥BD，∴BC∴∠COD =∠BOC=60°．∴∠BOD=120°． ∴S阴影=nπ?OA=120π?42?16π．

36036032法二：连结AD． ∵AC⊥BD，AC是直径， ∴AC垂直平分BD。

A ??CD?。 ∴AB=AD，BF=FD，BCBOF CD